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与えられた式 $(x+1)(x-1)(x-2)(x-4)$ を展開し、整理せよ。

代数学多項式の展開因数分解式の整理
2025/6/12

1. 問題の内容

与えられた式 (x+1)(x−1)(x−2)(x−4)(x+1)(x-1)(x-2)(x-4) を展開し、整理せよ。

2. 解き方の手順

まず、xx の係数の和が等しくなるように項を組み合わせて展開します。(x+1)(x+1) と (x−4)(x-4)、(x−1)(x-1) と (x−2)(x-2) を組み合わせます。
(x+1)(x−4)=x2−4x+x−4=x2−3x−4(x+1)(x-4) = x^2 - 4x + x - 4 = x^2 - 3x - 4
(x−1)(x−2)=x2−2x−x+2=x2−3x+2(x-1)(x-2) = x^2 - 2x - x + 2 = x^2 - 3x + 2
次に、x2−3xx^2 - 3x を AA とおくと、式は (A−4)(A+2)(A - 4)(A + 2) となります。
(A−4)(A+2)=A2+2A−4A−8=A2−2A−8(A - 4)(A + 2) = A^2 + 2A - 4A - 8 = A^2 - 2A - 8
ここで、A=x2−3xA = x^2 - 3x を代入します。
(x2−3x)2−2(x2−3x)−8=(x4−6x3+9x2)−(2x2−6x)−8(x^2 - 3x)^2 - 2(x^2 - 3x) - 8 = (x^4 - 6x^3 + 9x^2) - (2x^2 - 6x) - 8
=x4−6x3+9x2−2x2+6x−8= x^4 - 6x^3 + 9x^2 - 2x^2 + 6x - 8
=x4−6x3+7x2+6x−8= x^4 - 6x^3 + 7x^2 + 6x - 8

3. 最終的な答え

x4−6x3+7x2+6x−8x^4 - 6x^3 + 7x^2 + 6x - 8

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