和 $S = 1 \cdot 1 + 3 \cdot 3 + 5 \cdot 3^2 + \cdots + (2n-1) \cdot 3^{n-1}$ を求めよ。

1. 問題の内容

和 $S = 1 \cdot 1 + 3 \cdot 3 + 5 \cdot 3^2 + \cdots + (2n-1) \cdot 3^{n-1}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

この和は、等差数列と等比数列の積の和です。このような和を求めるには、等比数列の公比を掛けたものを元の式から引くという方法を使います。

まず、$S$ を書きます。

$S = 1 \cdot 1 + 3 \cdot 3 + 5 \cdot 3^2 + \cdots + (2n-1) \cdot 3^{n-1}$

次に、$S$ に公比 $3$ を掛けた $3S$ を書きます。

$3S = 1 \cdot 3 + 3 \cdot 3^2 + 5 \cdot 3^3 + \cdots + (2n-3) \cdot 3^{n-1} + (2n-1) \cdot 3^n$

$S$ から $3S$ を引きます。

$S - 3S = (1 \cdot 1 + 3 \cdot 3 + 5 \cdot 3^2 + \cdots + (2n-1) \cdot 3^{n-1}) - (1 \cdot 3 + 3 \cdot 3^2 + 5 \cdot 3^3 + \cdots + (2n-3) \cdot 3^{n-1} + (2n-1) \cdot 3^n)$

$-2S = 1 + (3-1) \cdot 3 + (5-3) \cdot 3^2 + \cdots + (2n-1 - (2n-3)) \cdot 3^{n-1} - (2n-1) \cdot 3^n$

$-2S = 1 + 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3^2 + \cdots + 2 \cdot 3^{n-1} - (2n-1) \cdot 3^n$

$-2S = 1 + 2(3 + 3^2 + \cdots + 3^{n-1}) - (2n-1) \cdot 3^n$

括弧の中は等比数列の和なので、公式を使って計算します。

$3 + 3^2 + \cdots + 3^{n-1} = \frac{3(3^{n-1}-1)}{3-1} = \frac{3(3^{n-1}-1)}{2}$

これを代入して、

$-2S = 1 + 2 \cdot \frac{3(3^{n-1}-1)}{2} - (2n-1) \cdot 3^n$

$-2S = 1 + 3(3^{n-1}-1) - (2n-1) \cdot 3^n$

$-2S = 1 + 3^n - 3 - (2n-1) \cdot 3^n$

$-2S = 3^n - 2 - (2n-1) \cdot 3^n$

$-2S = 3^n - 2 - 2n \cdot 3^n + 3^n$

$-2S = 2 \cdot 3^n - 2 - 2n \cdot 3^n$

$-2S = (2 - 2n) \cdot 3^n - 2$

$S = (n-1) \cdot 3^n + 1$

3. 最終的な答え

$S = (n-1)3^n + 1$