$\frac{(a-4i)(1+2i)}{3-i} = \frac{(a-4i)(1+2i)(3+i)}{(3-i)(3+i)}$

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1. 問題の内容

(1) 複素数 $\frac{(a-4i)(1+2i)}{3-i}$ が実数となるような実数 $a$ の値を求めよ。

(2) 2つの複素数 $a+bi$ と $5+2i$ の和が純虚数で、積が実数となるような実数 $a, b$ の値を求めよ。

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2. 解き方の手順

**(1)**

1. 分母を実数化するために、分子と分母に $3+i$ を掛ける。

$\frac{(a-4i)(1+2i)}{3-i} = \frac{(a-4i)(1+2i)(3+i)}{(3-i)(3+i)}$

2. 分子を展開する。

$(a-4i)(1+2i) = a + 2ai - 4i - 8i^2 = a + 8 + (2a-4)i$

$(a+8+(2a-4)i)(3+i) = 3(a+8) + (a+8)i + 3(2a-4)i + (2a-4)i^2 = 3a+24 + (a+8)i + (6a-12)i - (2a-4) = 3a+24 - 2a+4 + (a+8+6a-12)i = a+28 + (7a-4)i$

3. 分母を計算する。

$(3-i)(3+i) = 9 - i^2 = 9 + 1 = 10$

4. 全体を整理する。

$\frac{a+28 + (7a-4)i}{10} = \frac{a+28}{10} + \frac{7a-4}{10}i$

5. 複素数が実数になる条件は、虚部が0になることである。したがって、$\frac{7a-4}{10} = 0$

6. $7a - 4 = 0$ を解いて、$a$ を求める。

**(2)**

1. 2つの複素数の和が純虚数であるという条件から、$a+bi + 5+2i = (a+5) + (b+2)i$

これが純虚数であるためには、$a+5=0$ かつ $b+2 \neq 0$ が必要である。

2. 2つの複素数の積が実数であるという条件から、$(a+bi)(5+2i) = 5a+2ai+5bi+2bi^2 = 5a-2b+(2a+5b)i$

これが実数であるためには、$2a+5b=0$ が必要である。

3. $a+5=0$ より $a=-5$

4. $2a+5b=0$ に $a=-5$ を代入して、$2(-5)+5b=0$。これから $b$ を求める。

$-10 + 5b = 0$

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3. 最終的な答え

**(1)**

$a = \frac{4}{7}$

**(2)**

$a = -5$

$b = 2$