## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

問題４は、$x$ が実数であるという条件のもとで、与えられた命題の真偽を判定する問題です。

問題５は、$x$ と $y$ が実数であるという条件のもとで、与えられた命題が偽であることを示す反例を挙げる問題です。

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2. 解き方の手順

### 問題4

(3) $x > 3 \implies |x+1| > 2$

$x > 3$ のとき、$x+1 > 4$ なので、$|x+1| = x+1 > 4 > 2$ となります。したがって、この命題は真です。

(4) $|x| \leq 2 \implies |x-1| < 3$

$|x| \leq 2$ より、$-2 \leq x \leq 2$ です。

$x-1$ の範囲を考えると、$-2-1 \leq x-1 \leq 2-1$ となり、$-3 \leq x-1 \leq 1$ です。

したがって、$|x-1| \leq 3$ となります。

$|x-1|<3$ ということは、$-3 < x-1 < 3$ であり、$|x| \leq 2$ のとき、$x-1 = -3$ になることはないので、この命題は真です。

### 問題5

(1) $x^2 = 3 \implies x = \sqrt{3}$

反例は $x = -\sqrt{3}$ です。$x^2 = (-\sqrt{3})^2 = 3$ ですが、$x = -\sqrt{3} \neq \sqrt{3}$ です。

(2) $|x| > |y| \implies x > y$

反例は、$x = -2$、$y = 1$ です。$|-2| = 2$、$|1| = 1$ であり、$|x| > |y|$ を満たします。しかし、$x = -2 < 1 = y$ なので、$x > y$ は満たされません。

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3. 最終的な答え

問題4:

(3) 真

(4) 真

問題5:

(1) 反例：$x = -\sqrt{3}$

(2) 反例：$x = -2$、$y = 1$