$n$ 個の袋があり、それぞれの袋には白玉が2個と赤玉が $2n-2$ 個入っている。それぞれの袋から玉を1個ずつ取り出すとき、取り出した白玉の個数が2個である事象の確率を $p_n$ とする。このとき、$\lim_{n \to \infty} p_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

$n$ 個の袋があり、それぞれの袋には白玉が2個と赤玉が $2n-2$ 個入っている。それぞれの袋から玉を1個ずつ取り出すとき、取り出した白玉の個数が2個である事象の確率を $p_n$ とする。このとき、$\lim_{n \to \infty} p_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

各袋から玉を1個ずつ取り出すので、全部で $n$ 個の玉を取り出すことになる。このうち、白玉がちょうど2個である確率 $p_n$ を求める。どの2つの袋から白玉を取り出すかを考える。$n$ 個の袋から2つの袋を選ぶ組み合わせは $\binom{n}{2}$ 通りある。選んだ2つの袋から白玉を取り出し、残りの $n-2$ 個の袋からは赤玉を取り出す確率を考える。

ある特定の2つの袋（例えば袋 $i$ と袋 $j$）から白玉を取り出し、残りの $n-2$ 個の袋から赤玉を取り出す確率を計算する。袋 $i$ から白玉を取り出す確率は $\frac{2}{2n}$ であり、袋 $j$ から白玉を取り出す確率は $\frac{2}{2n}$ である。残りの $n-2$ 個の袋から赤玉を取り出す確率は、各袋について $\frac{2n-2}{2n} = \frac{n-1}{n}$ であるから、$(n-2)$ 個の袋については $\left( \frac{n-1}{n} \right)^{n-2}$ となる。

よって、ある特定の2つの袋から白玉を取り出し、残りの袋から赤玉を取り出す確率は

$\frac{2}{2n} \cdot \frac{2}{2n} \cdot \left( \frac{n-1}{n} \right)^{n-2} = \frac{1}{n^2} \left( \frac{n-1}{n} \right)^{n-2} = \frac{1}{n^2} \left( 1 - \frac{1}{n} \right)^{n-2}$

$p_n$ は、$\binom{n}{2}$ 通りの組み合わせそれぞれに対して上の確率を足し合わせたものになるので、

$p_n = \binom{n}{2} \cdot \frac{1}{n^2} \left( 1 - \frac{1}{n} \right)^{n-2} = \frac{n(n-1)}{2} \cdot \frac{1}{n^2} \left( 1 - \frac{1}{n} \right)^{n-2} = \frac{n-1}{2n} \left( 1 - \frac{1}{n} \right)^{n-2} = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{n} \right) \left( 1 - \frac{1}{n} \right)^{n-2}$

$\lim_{n \to \infty} \left( 1 - \frac{1}{n} \right) = 1$ であり、$\lim_{n \to \infty} \left( 1 - \frac{1}{n} \right)^{n} = e^{-1}$ であるから、

$\lim_{n \to \infty} \left( 1 - \frac{1}{n} \right)^{n-2} = \lim_{n \to \infty} \left( 1 - \frac{1}{n} \right)^{n} \left( 1 - \frac{1}{n} \right)^{-2} = e^{-1} \cdot 1 = e^{-1}$

よって、$\lim_{n \to \infty} p_n = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot e^{-1} = \frac{1}{2e}$

3. 最終的な答え

$\lim_{n \to \infty} p_n = \frac{1}{2e}$