与えられた極限を計算します。 $\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{2}{x})^x$

1. 問題の内容

与えられた極限を計算します。

$\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{2}{x})^x$

2. 解き方の手順

この極限は、自然対数の底 $e$ の定義に関連した形をしています。 $e$ の定義は次の通りです。

$\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^n = e$

与えられた極限をこの形に近づけるために、$y = \frac{x}{2}$ と置換します。すると、$x = 2y$ となり、$x \to \infty$ のとき、$y \to \infty$ となります。

与えられた極限は次のようになります。

$\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{2}{x})^x = \lim_{y \to \infty} (1 + \frac{2}{2y})^{2y} = \lim_{y \to \infty} (1 + \frac{1}{y})^{2y}$

指数法則を使って、次のように変形します。

$\lim_{y \to \infty} (1 + \frac{1}{y})^{2y} = \lim_{y \to \infty} [(1 + \frac{1}{y})^y]^2$

極限の性質より、べき乗の中の極限は極限全体のべき乗に等しいので、

$[\lim_{y \to \infty} (1 + \frac{1}{y})^y]^2$

$e$ の定義より、$\lim_{y \to \infty} (1 + \frac{1}{y})^y = e$ であるから、

$e^2$

3. 最終的な答え

$e^2$