$x - \frac{1}{x} = \sqrt{3}$ のとき、$\frac{x^4 + 2x^2 + 1}{x^2}$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$x - \frac{1}{x} = \sqrt{3}$ のとき、$\frac{x^4 + 2x^2 + 1}{x^2}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式 $x - \frac{1}{x} = \sqrt{3}$ を変形します。

両辺を2乗すると、

$(x - \frac{1}{x})^2 = (\sqrt{3})^2$

$x^2 - 2x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = 3$

$x^2 - 2 + \frac{1}{x^2} = 3$

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 5$

次に、求める式の分子を変形します。

$\frac{x^4 + 2x^2 + 1}{x^2} = \frac{(x^2 + 1)^2}{x^2} = (\frac{x^2 + 1}{x})^2 = (x + \frac{1}{x})^2$

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 5$ より、

$(x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = x^2 + \frac{1}{x^2} + 2 = 5 + 2 = 7$

したがって、

$\frac{x^4 + 2x^2 + 1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 = 7$

3. 最終的な答え

7