行列 $A = \begin{pmatrix} -3 & 1 \\ 2 & -4 \end{pmatrix}$ とベクトル $x = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ が与えられたとき、以下の値を計算します。 * $Ax$ * $x^T A^T$ * $x^T A x$ * $A^T x$ * $x^T A^T A x$

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} -3 & 1 \\ 2 & -4 \end{pmatrix}$ とベクトル $x = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ が与えられたとき、以下の値を計算します。

* $Ax$

* $x^T A^T$

* $x^T A x$

* $A^T x$

* $x^T A^T A x$

2. 解き方の手順

(1) $Ax$ の計算

$Ax = \begin{pmatrix} -3 & 1 \\ 2 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \times 2 + 1 \times 1 \\ 2 \times 2 + (-4) \times 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 + 1 \\ 4 - 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ 0 \end{pmatrix}$

(2) $x^T A^T$ の計算

まず、$A^T$ を計算します。

$A^T = \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ 1 & -4 \end{pmatrix}$

次に、$x^T$ を計算します。

$x^T = \begin{pmatrix} 2 & 1 \end{pmatrix}$

したがって、$x^T A^T = \begin{pmatrix} 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ 1 & -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \times (-3) + 1 \times 1 & 2 \times 2 + 1 \times (-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 + 1 & 4 - 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 & 0 \end{pmatrix}$

(3) $x^T A x$ の計算

$x^T A x = \begin{pmatrix} 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -5 \\ 0 \end{pmatrix} = 2 \times (-5) + 1 \times 0 = -10 + 0 = -10$

(4) $A^T x$ の計算

$A^T x = \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ 1 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \times 2 + 2 \times 1 \\ 1 \times 2 + (-4) \times 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 + 2 \\ 2 - 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ -2 \end{pmatrix}$

(5) $x^T A^T A x$ の計算

まず、$A x = \begin{pmatrix} -5 \\ 0 \end{pmatrix}$ であることがわかっています。

$A^T A x = \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ 1 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -5 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-3) \times (-5) + 2 \times 0 \\ 1 \times (-5) + (-4) \times 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 15 + 0 \\ -5 + 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 15 \\ -5 \end{pmatrix}$

$x^T A^T A x = \begin{pmatrix} 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 15 \\ -5 \end{pmatrix} = 2 \times 15 + 1 \times (-5) = 30 - 5 = 25$

3. 最終的な答え

* $Ax = \begin{pmatrix} -5 \\ 0 \end{pmatrix}$

* $x^T A^T = \begin{pmatrix} -5 & 0 \end{pmatrix}$

* $x^T A x = -10$

* $A^T x = \begin{pmatrix} -4 \\ -2 \end{pmatrix}$

* $x^T A^T A x = 25$