$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{x}-1}{x-1}$ を計算する。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{x}-1}{x-1}$ を計算する。

2. 解き方の手順

この極限を求めるために、$x = t^3$ と変数変換します。すると、$x \to 1$ のとき $t \to 1$ となります。

また、$x - 1 = t^3 - 1 = (t-1)(t^2 + t + 1)$ となり、$\sqrt[3]{x} = \sqrt[3]{t^3} = t$ となるので、与えられた式は以下のように書き換えられます。

$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{x}-1}{x-1} = \lim_{t \to 1} \frac{t - 1}{t^3 - 1}$

$= \lim_{t \to 1} \frac{t - 1}{(t-1)(t^2 + t + 1)}$

$= \lim_{t \to 1} \frac{1}{t^2 + t + 1}$

$t \to 1$ のとき、分母は $1^2 + 1 + 1 = 3$ に近づくので、

$\lim_{t \to 1} \frac{1}{t^2 + t + 1} = \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{3}$