複素数 $z = \sqrt{3} - i$ が与えられたとき、$|z - \frac{1}{z}|$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

複素数 $z = \sqrt{3} - i$ が与えられたとき、$|z - \frac{1}{z}|$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$z = \sqrt{3} - i$ の絶対値 $|z|$ を計算します。

$|z| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$

次に、$z$ の逆数 $\frac{1}{z}$ を計算します。

$\frac{1}{z} = \frac{1}{\sqrt{3} - i} = \frac{\sqrt{3} + i}{(\sqrt{3} - i)(\sqrt{3} + i)} = \frac{\sqrt{3} + i}{3 + 1} = \frac{\sqrt{3} + i}{4}$

次に、$z - \frac{1}{z}$ を計算します。

$z - \frac{1}{z} = (\sqrt{3} - i) - \frac{\sqrt{3} + i}{4} = \frac{4(\sqrt{3} - i) - (\sqrt{3} + i)}{4} = \frac{4\sqrt{3} - 4i - \sqrt{3} - i}{4} = \frac{3\sqrt{3} - 5i}{4}$

最後に、$|z - \frac{1}{z}|$ を計算します。

$|z - \frac{1}{z}| = \left|\frac{3\sqrt{3} - 5i}{4}\right| = \frac{|3\sqrt{3} - 5i|}{4} = \frac{\sqrt{(3\sqrt{3})^2 + (-5)^2}}{4} = \frac{\sqrt{27 + 25}}{4} = \frac{\sqrt{52}}{4} = \frac{\sqrt{4 \cdot 13}}{4} = \frac{2\sqrt{13}}{4} = \frac{\sqrt{13}}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{13}}{2}$