与えられた行列 $A$ とベクトル $x$ に対して、以下の計算結果を求めよ。 * $Ax$ * $x^T A^T$ * $x^T A x$ * $x^T A^T x$ * $x^T A^T A x$ ただし、$x^T$ は $x$ の転置行列、$A^T$ は $A$ の転置行列を表す。 与えられた行列とベクトルは以下の通りです。 $A = \begin{pmatrix} -3 & 4 & 2 \\ 3 & 0 & -1 \\ 1 & -4 & -2 \end{pmatrix}$, $x = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた行列 $A$ とベクトル $x$ に対して、以下の計算結果を求めよ。

* $Ax$

* $x^T A^T$

* $x^T A x$

* $x^T A^T x$

* $x^T A^T A x$

ただし、$x^T$ は $x$ の転置行列、$A^T$ は $A$ の転置行列を表す。

与えられた行列とベクトルは以下の通りです。

$A = \begin{pmatrix} -3 & 4 & 2 \\ 3 & 0 & -1 \\ 1 & -4 & -2 \end{pmatrix}$, $x = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

(1) $Ax$ の計算：

$Ax = \begin{pmatrix} -3 & 4 & 2 \\ 3 & 0 & -1 \\ 1 & -4 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-3)(-1) + (4)(0) + (2)(2) \\ (3)(-1) + (0)(0) + (-1)(2) \\ (1)(-1) + (-4)(0) + (-2)(2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 + 0 + 4 \\ -3 + 0 - 2 \\ -1 + 0 - 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ -5 \\ -5 \end{pmatrix}$

(2) $x^T A^T$ の計算：

まず、$A^T$ を求める。

$A^T = \begin{pmatrix} -3 & 3 & 1 \\ 4 & 0 & -4 \\ 2 & -1 & -2 \end{pmatrix}$

次に、$x^T$ を求める。

$x^T = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 2 \end{pmatrix}$

よって、$x^T A^T = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -3 & 3 & 1 \\ 4 & 0 & -4 \\ 2 & -1 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-1)(-3) + (0)(4) + (2)(2) & (-1)(3) + (0)(0) + (2)(-1) & (-1)(1) + (0)(-4) + (2)(-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 + 0 + 4 & -3 + 0 - 2 & -1 + 0 - 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & -5 & -5 \end{pmatrix}$

(3) $x^T A x$ の計算：

$x^T A x = x^T (Ax) = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 7 \\ -5 \\ -5 \end{pmatrix} = (-1)(7) + (0)(-5) + (2)(-5) = -7 + 0 - 10 = -17$

(4) $x^T A^T x$ の計算：

$A^T x = \begin{pmatrix} -3 & 3 & 1 \\ 4 & 0 & -4 \\ 2 & -1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-3)(-1) + (3)(0) + (1)(2) \\ (4)(-1) + (0)(0) + (-4)(2) \\ (2)(-1) + (-1)(0) + (-2)(2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 + 0 + 2 \\ -4 + 0 - 8 \\ -2 + 0 - 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ -12 \\ -6 \end{pmatrix}$

$x^T A^T x = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 \\ -12 \\ -6 \end{pmatrix} = (-1)(5) + (0)(-12) + (2)(-6) = -5 + 0 - 12 = -17$

(5) $x^T A^T A x$ の計算：

$A^T A = \begin{pmatrix} -3 & 3 & 1 \\ 4 & 0 & -4 \\ 2 & -1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -3 & 4 & 2 \\ 3 & 0 & -1 \\ 1 & -4 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9+9+1 & -12+0-4 & -6-3-2 \\ -12+0-4 & 16+0+16 & 8+0+8 \\ -6-3-2 & 8+0+8 & 4+1+4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 19 & -16 & -11 \\ -16 & 32 & 16 \\ -11 & 16 & 9 \end{pmatrix}$

$A^T A x = \begin{pmatrix} 19 & -16 & -11 \\ -16 & 32 & 16 \\ -11 & 16 & 9 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -19+0-22 \\ 16+0+32 \\ 11+0+18 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -41 \\ 48 \\ 29 \end{pmatrix}$

$x^T A^T A x = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -41 \\ 48 \\ 29 \end{pmatrix} = (-1)(-41) + (0)(48) + (2)(29) = 41 + 0 + 58 = 99$

3. 最終的な答え

* $Ax = \begin{pmatrix} 7 \\ -5 \\ -5 \end{pmatrix}$

* $x^T A^T = \begin{pmatrix} 7 & -5 & -5 \end{pmatrix}$

* $x^T A x = -17$

* $x^T A^T x = -17$

* $x^T A^T A x = 99$