与えられた和を計算する問題です。 $\sum_{k=1}^{n}(k^3 + k)$

1. 問題の内容

与えられた和を計算する問題です。

$\sum_{k=1}^{n}(k^3 + k)$

2. 解き方の手順

まず、和を分解します。

$\sum_{k=1}^{n}(k^3 + k) = \sum_{k=1}^{n}k^3 + \sum_{k=1}^{n}k$

次に、$\sum_{k=1}^{n}k^3$ と $\sum_{k=1}^{n}k$ をそれぞれ計算します。

これらの和の公式は以下の通りです。

$\sum_{k=1}^{n}k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n}k^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$

これらの公式を代入します。

$\sum_{k=1}^{n}(k^3 + k) = \frac{n^2(n+1)^2}{4} + \frac{n(n+1)}{2}$

共通因数 $\frac{n(n+1)}{4}$ でくくります。

$\frac{n(n+1)}{4} [n(n+1) + 2] = \frac{n(n+1)}{4} [n^2 + n + 2]$

よって、最終的な答えは $\frac{n(n+1)(n^2 + n + 2)}{4}$ となります。

3. 最終的な答え

$\frac{n(n+1)(n^2 + n + 2)}{4}$