(1) $a > 0$, $n \ge 3$ のとき、不等式 $(1+a)^n > \frac{1}{6}n(n-1)(n-2)a^3$ を証明する。 (2) $r > 1$ のとき、極限値 $\lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{r^n}$ を求める。

1. 問題の内容

(1) $a > 0$, $n \ge 3$ のとき、不等式 $(1+a)^n > \frac{1}{6}n(n-1)(n-2)a^3$ を証明する。

(2) $r > 1$ のとき、極限値 $\lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{r^n}$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 不等式の証明

二項定理を利用する。$n \ge 3$ より、

$(1+a)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^k$

$= 1 + na + \frac{n(n-1)}{2}a^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{6}a^3 + \dots + a^n$

$a > 0$ であるから、

$(1+a)^n > \frac{n(n-1)(n-2)}{6} a^3 = \frac{1}{6}n(n-1)(n-2)a^3$

よって、不等式は成り立つ。

(2) 極限値の計算

$r = 1+h$ とおく。$r > 1$ より $h > 0$。

二項定理より、$r^n = (1+h)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}h^k > \binom{n}{3} h^3 = \frac{n(n-1)(n-2)}{6}h^3$ （$n \ge 3$ のとき）

よって、

$0 < \frac{n^2}{r^n} < \frac{n^2}{\frac{n(n-1)(n-2)}{6}h^3} = \frac{6n^2}{n(n-1)(n-2)h^3} = \frac{6n^2}{n(n^2 - 3n + 2)h^3} = \frac{6n}{ (n^2 - 3n + 2)h^3} = \frac{6n}{(n^2 - 3n + 2)h^3}$

$\lim_{n \to \infty} \frac{6n}{(n^2 - 3n + 2)h^3} = \lim_{n \to \infty} \frac{6n}{n^2(1 - \frac{3}{n} + \frac{2}{n^2})h^3} = \lim_{n \to \infty} \frac{6}{n(1 - \frac{3}{n} + \frac{2}{n^2})h^3} = 0$

よって、挟みうちの原理より $\lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{r^n} = 0$

3. 最終的な答え

(1) $(1+a)^n > \frac{1}{6}n(n-1)(n-2)a^3$ は成り立つ。

(2) $\lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{r^n} = 0$