直線 $4x+3y-5=0$ が円 $x^2 + y^2 = 4$ によって切り取られてできる線分の長さと、線分の中点の座標を求めます。

## 問題197 (1) の解答

1. 問題の内容

直線 $4x+3y-5=0$ が円 $x^2 + y^2 = 4$ によって切り取られてできる線分の長さと、線分の中点の座標を求めます。

2. 解き方の手順

まず、円の中心と直線の距離 $d$ を求めます。円の中心は原点 $(0, 0)$ であり、直線の式は $4x + 3y - 5 = 0$ です。点と直線の距離の公式より、

$$d = \frac{|4(0) + 3(0) - 5|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = \frac{|-5|}{\sqrt{16 + 9}} = \frac{5}{\sqrt{25}} = \frac{5}{5} = 1$$

円の半径 $r$ は $\sqrt{4} = 2$ です。線分の長さを $2l$ とすると、三平方の定理より

$$l^2 + d^2 = r^2$$

$$l^2 + 1^2 = 2^2$$

$$l^2 + 1 = 4$$

$$l^2 = 3$$

$$l = \sqrt{3}$$

したがって、線分の長さ $2l$ は $2\sqrt{3}$ となります。

次に、線分の中点の座標を求めます。線分の中点は、円の中心から直線に下ろした垂線の足です。

直線の法線ベクトルは $(4, 3)$ です。したがって、原点を通る直線 $4x+3y-5=0$ に垂直な直線は $3x - 4y = 0$ と表せます。直線 $4x + 3y - 5 = 0$ と $3x - 4y = 0$ の交点を求めます。

$3x = 4y$ より $x = \frac{4}{3}y$ です。これを $4x + 3y - 5 = 0$ に代入すると、

$$4\left(\frac{4}{3}y\right) + 3y - 5 = 0$$

$$\frac{16}{3}y + 3y - 5 = 0$$

$$\frac{16}{3}y + \frac{9}{3}y = 5$$

$$\frac{25}{3}y = 5$$

$$y = \frac{15}{25} = \frac{3}{5}$$

$x = \frac{4}{3}y = \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{5} = \frac{4}{5}$

したがって、線分の中点の座標は $\left(\frac{4}{5}, \frac{3}{5}\right)$ となります。

3. 最終的な答え

線分の長さ: $2\sqrt{3}$

線分の中点の座標: $\left(\frac{4}{5}, \frac{3}{5}\right)$