定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \cos^3 x dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \cos^3 x dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$\cos^3 x$ を $\cos^2 x \cdot \cos x$ と分解し、$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ を用いて式を変換します。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \cos^3 x dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x (1-\sin^2 x) \cos x dx$

次に、$u = \sin x$ と置換します。このとき、$du = \cos x dx$ であり、積分範囲は $x=0$ のとき $u=0$, $x=\frac{\pi}{2}$ のとき $u=1$ となります。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x (1-\sin^2 x) \cos x dx = \int_{0}^{1} u^2 (1-u^2) du$

積分を計算します。

$\int_{0}^{1} (u^2 - u^4) du = \left[\frac{u^3}{3} - \frac{u^5}{5}\right]_{0}^{1}$

$= \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) - (0 - 0)$

$= \frac{5-3}{15} = \frac{2}{15}$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{15}$