$\tan \theta = -2$ のとき、$\sin \theta$ と $\cos \theta$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\tan \theta = -2$ のとき、$\sin \theta$ と $\cos \theta$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ および $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を利用します。

まず、$\tan \theta = -2$ より、$\sin \theta = -2 \cos \theta$ となります。

これを $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ に代入すると、

$(-2 \cos \theta)^2 + \cos^2 \theta = 1$

$4 \cos^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$

$5 \cos^2 \theta = 1$

$\cos^2 \theta = \frac{1}{5}$

$\cos \theta = \pm \frac{1}{\sqrt{5}} = \pm \frac{\sqrt{5}}{5}$

次に、$\cos \theta = \frac{\sqrt{5}}{5}$ のとき、$\sin \theta = -2 \cos \theta = -2 \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$ となります。

$\cos \theta = -\frac{\sqrt{5}}{5}$ のとき、$\sin \theta = -2 \cos \theta = -2 \cdot (-\frac{\sqrt{5}}{5}) = \frac{2\sqrt{5}}{5}$ となります。

$\tan \theta = -2 < 0$ であることから、$\sin \theta$ と $\cos \theta$ は異符号である必要があります。

したがって、

(i) $\cos \theta = \frac{\sqrt{5}}{5}$, $\sin \theta = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$

(ii) $\cos \theta = -\frac{\sqrt{5}}{5}$, $\sin \theta = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

3. 最終的な答え

$\cos \theta = \frac{\sqrt{5}}{5}, \sin \theta = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$ または $\cos \theta = -\frac{\sqrt{5}}{5}, \sin \theta = \frac{2\sqrt{5}}{5}$