与えられた数列の第k項をkの式で表し、数列の和を求める問題です。数列は $1 \cdot n, 2 \cdot (n-1), 3 \cdot (n-2), \dots, n \cdot 1$ で定義されています。

1. 問題の内容

与えられた数列の第k項をkの式で表し、数列の和を求める問題です。数列は $1 \cdot n, 2 \cdot (n-1), 3 \cdot (n-2), \dots, n \cdot 1$ で定義されています。

2. 解き方の手順

(1) 第k項の導出：

数列の一般項を考えるために、数列の各項を観察します。

第1項は $1 \cdot n$、第2項は $2 \cdot (n-1)$、第3項は $3 \cdot (n-2)$ となっています。

一般的に、第k項は $k \cdot (n - (k - 1))$ と表現できます。

これを整理すると、第k項は $k \cdot (n - k + 1)$ となります。

したがって、第k項 $a_k$ は次のようになります。

$a_k = k(n - k + 1)$

(2) 数列の和の計算：

数列の和 $S$ は、$\sum_{k=1}^{n} a_k$ で表されます。

$S = \sum_{k=1}^{n} k(n - k + 1)$

$S = \sum_{k=1}^{n} (nk - k^2 + k)$

$S = \sum_{k=1}^{n} ( (n+1)k - k^2 )$

$S = (n+1) \sum_{k=1}^{n} k - \sum_{k=1}^{n} k^2$

ここで、$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ と $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ を用います。

$S = (n+1) \frac{n(n+1)}{2} - \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$S = \frac{n(n+1)}{6} [3(n+1) - (2n+1)]$

$S = \frac{n(n+1)}{6} [3n + 3 - 2n - 1]$

$S = \frac{n(n+1)(n+2)}{6}$

3. 最終的な答え

(1) 第k項: $k(n - k + 1)$

(2) 数列の和: $\frac{n(n+1)(n+2)}{6}$