次の3つの不等式を解く問題です。 (1) $|x| + |x-2| < 4$ を $x<0$, $0 \le x < 2$, $2 \le x$ の範囲で解く。 (2) $|x+2| + |3x-2| > 5$ を解く。 (3) $|x-1| + |x-2| > 3x-3$ を解く。

1. 問題の内容

次の3つの不等式を解く問題です。

(1) $|x| + |x-2| < 4$ を $x<0$, $0 \le x < 2$, $2 \le x$ の範囲で解く。

(2) $|x+2| + |3x-2| > 5$ を解く。

(3) $|x-1| + |x-2| > 3x-3$ を解く。

2. 解き方の手順

(1) $|x| + |x-2| < 4$

(ア) $x<0$ のとき、 $|x| = -x$, $|x-2| = -(x-2) = 2-x$ より、

$-x + (2-x) < 4$

$-2x + 2 < 4$

$-2x < 2$

$x > -1$

$x < 0$ と合わせて、$-1 < x < 0$

(イ) $0 \le x < 2$ のとき、 $|x| = x$, $|x-2| = -(x-2) = 2-x$ より、

$x + (2-x) < 4$

$2 < 4$

これは常に成り立つので、$0 \le x < 2$

(ウ) $2 \le x$ のとき、 $|x| = x$, $|x-2| = x-2$ より、

$x + (x-2) < 4$

$2x - 2 < 4$

$2x < 6$

$x < 3$

$2 \le x$ と合わせて、$2 \le x < 3$

(2) $|x+2| + |3x-2| > 5$

$x+2 = 0$ より $x = -2$, $3x-2 = 0$ より $x = \frac{2}{3}$

(i) $x < -2$ のとき、 $|x+2| = -(x+2)$, $|3x-2| = -(3x-2)$

$-(x+2) - (3x-2) > 5$

$-x - 2 - 3x + 2 > 5$

$-4x > 5$

$x < -\frac{5}{4}$

$x < -2$ と合わせて、$x < - \frac{5}{4}$

(ii) $-2 \le x < \frac{2}{3}$ のとき、 $|x+2| = x+2$, $|3x-2| = -(3x-2)$

$x+2 - (3x-2) > 5$

$x+2 - 3x + 2 > 5$

$-2x + 4 > 5$

$-2x > 1$

$x < -\frac{1}{2}$

$-2 \le x < \frac{2}{3}$ と合わせて、$-2 \le x < -\frac{1}{2}$

(iii) $\frac{2}{3} \le x$ のとき、 $|x+2| = x+2$, $|3x-2| = 3x-2$

$x+2 + 3x-2 > 5$

$4x > 5$

$x > \frac{5}{4}$

$\frac{2}{3} \le x$ と合わせて、$x > \frac{5}{4}$

(3) $|x-1| + |x-2| > 3x-3$

$x-1 = 0$ より $x=1$, $x-2 = 0$ より $x=2$

(i) $x < 1$ のとき、 $|x-1| = -(x-1) = 1-x$, $|x-2| = -(x-2) = 2-x$

$1-x + 2-x > 3x-3$

$3-2x > 3x-3$

$6 > 5x$

$x < \frac{6}{5}$

$x < 1$ と合わせて、$x < 1$

(ii) $1 \le x < 2$ のとき、 $|x-1| = x-1$, $|x-2| = -(x-2) = 2-x$

$x-1 + 2-x > 3x-3$

$1 > 3x-3$

$4 > 3x$

$x < \frac{4}{3}$

$1 \le x < 2$ と合わせて、$1 \le x < \frac{4}{3}$

(iii) $2 \le x$ のとき、 $|x-1| = x-1$, $|x-2| = x-2$

$x-1 + x-2 > 3x-3$

$2x - 3 > 3x - 3$

$0 > x$

$x < 0$

$2 \le x$ と合わせて、解なし

3. 最終的な答え

(1)

(ア) $-1 < x < 0$

(イ) $0 \le x < 2$

(ウ) $2 \le x < 3$

(2) $x < - \frac{5}{4}$, $-2 \le x < -\frac{1}{2}$, $x > \frac{5}{4}$

(3) $x < \frac{4}{3}$