関数 $y=x^2-4x+1$ の定義域が以下の範囲のとき、それぞれの場合について最大値と最小値を求めます。 (1) $-2 \le x \le 1$ (2) $1 \le x \le 4$ (3) $4 \le x \le 5$ (4) $0 \le x \le 4$

1. 問題の内容

関数 $y=x^2-4x+1$ の定義域が以下の範囲のとき、それぞれの場合について最大値と最小値を求めます。

(1) $-2 \le x \le 1$

(2) $1 \le x \le 4$

(3) $4 \le x \le 5$

(4) $0 \le x \le 4$

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を平方完成します。

$y = x^2 - 4x + 1 = (x-2)^2 - 4 + 1 = (x-2)^2 - 3$

この式から、この関数のグラフは、頂点が $(2, -3)$ の下に凸な放物線であることがわかります。

次に、各定義域における最大値と最小値を求めます。

(1) $-2 \le x \le 1$ のとき

頂点の $x$ 座標 $x=2$ はこの範囲に含まれていません。

$x=-2$ のとき $y=(-2-2)^2 - 3 = (-4)^2 - 3 = 16 - 3 = 13$

$x=1$ のとき $y=(1-2)^2 - 3 = (-1)^2 - 3 = 1 - 3 = -2$

したがって、最大値は $13$ ($x=-2$ のとき)、最小値は $-2$ ($x=1$ のとき)。

(2) $1 \le x \le 4$ のとき

頂点の $x$ 座標 $x=2$ はこの範囲に含まれています。

$x=2$ のとき $y=(2-2)^2 - 3 = 0 - 3 = -3$ （最小値の候補）

$x=1$ のとき $y=(1-2)^2 - 3 = (-1)^2 - 3 = 1 - 3 = -2$

$x=4$ のとき $y=(4-2)^2 - 3 = (2)^2 - 3 = 4 - 3 = 1$

したがって、最大値は $1$ ($x=4$ のとき)、最小値は $-3$ ($x=2$ のとき)。

(3) $4 \le x \le 5$ のとき

頂点の $x$ 座標 $x=2$ はこの範囲に含まれていません。

$x=4$ のとき $y=(4-2)^2 - 3 = (2)^2 - 3 = 4 - 3 = 1$

$x=5$ のとき $y=(5-2)^2 - 3 = (3)^2 - 3 = 9 - 3 = 6$

したがって、最大値は $6$ ($x=5$ のとき)、最小値は $1$ ($x=4$ のとき)。

(4) $0 \le x \le 4$ のとき

頂点の $x$ 座標 $x=2$ はこの範囲に含まれています。

$x=2$ のとき $y=(2-2)^2 - 3 = 0 - 3 = -3$ （最小値の候補）

$x=0$ のとき $y=(0-2)^2 - 3 = (-2)^2 - 3 = 4 - 3 = 1$

$x=4$ のとき $y=(4-2)^2 - 3 = (2)^2 - 3 = 4 - 3 = 1$

したがって、最大値は $1$ ($x=0, 4$ のとき)、最小値は $-3$ ($x=2$ のとき)。

3. 最終的な答え

(1) 最大値: 13, 最小値: -2

(2) 最大値: 1, 最小値: -3

(3) 最大値: 6, 最小値: 1

(4) 最大値: 1, 最小値: -3