与えられた連立一次方程式を解き、解をパラメータ表示の形で求めよ。連立一次方程式は以下の通りです。 $ \begin{bmatrix} -3 & 9 & 10 \\ 1 & -3 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 \\ 0 \end{bmatrix} $ 解は以下の形式で表す必要があります。 $ \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix} + s \begin{bmatrix} d \\ e \\ f \end{bmatrix} $ ここで、$s$ は実数です。
2025/6/13
1. 問題の内容
与えられた連立一次方程式を解き、解をパラメータ表示の形で求めよ。連立一次方程式は以下の通りです。
\begin{bmatrix}
-3 & 9 & 10 \\
1 & -3 & -1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
z
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
7 \\
0
\end{bmatrix}
解は以下の形式で表す必要があります。
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
z
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
a \\
b \\
c
\end{bmatrix}
+ s
\begin{bmatrix}
d \\
e \\
f
\end{bmatrix}
ここで、 は実数です。
2. 解き方の手順
連立一次方程式を行列で表し、拡大係数行列を求めます。
\begin{bmatrix}
-3 & 9 & 10 & | & 7 \\
1 & -3 & -1 & | & 0
\end{bmatrix}
次に、行基本変形を用いて階段行列に変形します。
まず、1行目と2行目を入れ替えます。
\begin{bmatrix}
1 & -3 & -1 & | & 0 \\
-3 & 9 & 10 & | & 7
\end{bmatrix}
次に、2行目に1行目の3倍を加えます。
\begin{bmatrix}
1 & -3 & -1 & | & 0 \\
0 & 0 & 7 & | & 7
\end{bmatrix}
次に、2行目を7で割ります。
\begin{bmatrix}
1 & -3 & -1 & | & 0 \\
0 & 0 & 1 & | & 1
\end{bmatrix}
次に、1行目に2行目を加えます。
\begin{bmatrix}
1 & -3 & 0 & | & 1 \\
0 & 0 & 1 & | & 1
\end{bmatrix}
これにより、 かつ が得られます。 とすると、 となります。したがって、解は
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
z
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 + 3s \\
s \\
1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 \\
0 \\
1
\end{bmatrix}
+ s
\begin{bmatrix}
3 \\
1 \\
0
\end{bmatrix}
3. 最終的な答え
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
z
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 \\
0 \\
1
\end{bmatrix}
+ s
\begin{bmatrix}
3 \\
1 \\
0
\end{bmatrix}