与えられた行列 $A$ と $B$ の被約行階段形（または行標準形）を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A$ と $B$ の被約行階段形（または行標準形）を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 4 & 1 \\ 1 & 2 & 5 & 2 \\ 1 & 3 & 6 & 1 \end{bmatrix}$ の場合：

1. 2行目から1行目を引く: $R_2 \leftarrow R_2 - R_1$

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 4 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 6 & 1 \end{bmatrix}$

2. 3行目から1行目を引く: $R_3 \leftarrow R_3 - R_1$

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 4 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 & 0 \end{bmatrix}$

3. 3行目から2行目の2倍を引く: $R_3 \leftarrow R_3 - 2R_2$

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 4 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -2 \end{bmatrix}$

4. 3行目を $-1/2$ 倍する: $R_3 \leftarrow -\frac{1}{2} R_3$

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 4 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

5. 1行目から3行目を引く: $R_1 \leftarrow R_1 - R_3$

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 4 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

6. 2行目から3行目を引く: $R_2 \leftarrow R_2 - R_3$

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 4 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

7. 1行目から2行目を引く: $R_1 \leftarrow R_1 - R_2$

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

(2) 行列 $B = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 1 & 3 \\ 3 & 6 & 1 & 5 \end{bmatrix}$ の場合：

1. 2行目から1行目の2倍を引く: $R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1$

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \\ 3 & 6 & 1 & 5 \end{bmatrix}$

2. 3行目から1行目の3倍を引く: $R_3 \leftarrow R_3 - 3R_1$

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & -2 & 2 \end{bmatrix}$

3. 3行目から2行目の2倍を引く: $R_3 \leftarrow R_3 - 2R_2$

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

4. 2行目を $-1$ 倍する: $R_2 \leftarrow -R_2$

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

5. 1行目から2行目を引く: $R_1 \leftarrow R_1 - R_2$

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $A$ の被約行階段形は $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

(2) $B$ の被約行階段形は $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$