実数 $x, y, z$ が $x+y+z = 1$, $x^3+y^3+z^3 = 13$, $xyz = -2$ を満たすとき、$xy+yz+zx$ と $x^4+y^4+z^4$ の値を求めよ。

## 問題2

1. 問題の内容

実数 $x, y, z$ が $x+y+z = 1$, $x^3+y^3+z^3 = 13$, $xyz = -2$ を満たすとき、$xy+yz+zx$ と $x^4+y^4+z^4$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $xy+yz+zx$ の値を求める。

まず、$(x+y+z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy+yz+zx)$ より、

$1^2 = x^2+y^2+z^2 + 2(xy+yz+zx)$。

次に、$x^3+y^3+z^3 - 3xyz = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$ より、

$13 - 3(-2) = 1 \times (x^2+y^2+z^2 - (xy+yz+zx))$。

したがって、$x^2+y^2+z^2 = 19 + xy+yz+zx$。

これらを最初の式に代入して、

$1 = (19 + xy+yz+zx) + 2(xy+yz+zx)$

$3(xy+yz+zx) = -18$

$xy+yz+zx = -6$。

(2) $x^4+y^4+z^4$ の値を求める。

$x^2+y^2+z^2 = (x+y+z)^2 - 2(xy+yz+zx) = 1^2 - 2(-6) = 13$

$(x^2+y^2+z^2)^2 = x^4+y^4+z^4 + 2(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)$

$x^4+y^4+z^4 = 13^2 - 2(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)$

$(xy+yz+zx)^2 = x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2 + 2(xy^2z+xyz^2+x^2yz)$

$(xy+yz+zx)^2 = x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2 + 2xyz(x+y+z)$

$(-6)^2 = x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2 + 2(-2)(1)$

$36 = x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2 - 4$

$x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2 = 40$

したがって、$x^4+y^4+z^4 = 13^2 - 2(40) = 169 - 80 = 89$

3. 最終的な答え

$xy+yz+zx = -6$

$x^4+y^4+z^4 = 89$

## 問題3

1. 問題の内容

方程式 $x^4 + 2x^3 - x^2 + 2x + 1 = 0$ の実数解を求める。$y = x + \frac{1}{x}$ とおき、方程式を $y^2 + ay + b = 0$ と変形する時の $a, b$ の値と方程式の実数解を求める。

2. 解き方の手順

$x \neq 0$ であるから、$x^2$ で割ると、

$x^2 + 2x - 1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2} = 0$

$(x^2 + \frac{1}{x^2}) + 2(x + \frac{1}{x}) - 1 = 0$

$y = x + \frac{1}{x}$ とおくと、$y^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$ より、$x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 - 2$。

したがって、$y^2 - 2 + 2y - 1 = 0$

$y^2 + 2y - 3 = 0$

$(y+3)(y-1) = 0$

$y = -3, 1$。

$y = x + \frac{1}{x} = -3$ のとき、$x^2+3x+1 = 0$

$x = \frac{-3 \pm \sqrt{9-4}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$

$y = x + \frac{1}{x} = 1$ のとき、$x^2 - x + 1 = 0$

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1-4}}{2} = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2}$。これは実数解ではない。

3. 最終的な答え

$a = 2, b = -3$

実数解は $x = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$