与えられた2次関数の最大値と最小値を、指定された範囲で求めます。 (1) $y = x^2 - 2x + 3$ ($0 \le x \le 3$) (2) $y = -x^2 + 4x - 3$ ($1 \le x \le 4$) (3) $y = 3x^2 + 6x - 1$ ($1 \le x \le 3$) (4) $y = -2x^2 + 14x$ ($0 \le x \le 7$)

はい、承知いたしました。画像の問題を解きます。

1. 問題の内容

与えられた2次関数の最大値と最小値を、指定された範囲で求めます。

(1) $y = x^2 - 2x + 3$ ($0 \le x \le 3$)

(2) $y = -x^2 + 4x - 3$ ($1 \le x \le 4$)

(3) $y = 3x^2 + 6x - 1$ ($1 \le x \le 3$)

(4) $y = -2x^2 + 14x$ ($0 \le x \le 7$)

2. 解き方の手順

各2次関数を平方完成し、軸の位置と定義域との関係から最大値と最小値を求めます。

(1) $y = x^2 - 2x + 3 = (x - 1)^2 + 2$

軸は $x = 1$ で、これは定義域 $0 \le x \le 3$ 内にあります。

$x = 1$ のとき、$y = 2$ (最小値)

$x = 3$ のとき、$y = (3 - 1)^2 + 2 = 4 + 2 = 6$ (最大値)

(2) $y = -x^2 + 4x - 3 = -(x^2 - 4x) - 3 = -(x - 2)^2 + 4 - 3 = -(x - 2)^2 + 1$

軸は $x = 2$ で、これは定義域 $1 \le x \le 4$ 内にあります。

$x = 2$ のとき、$y = 1$ (最大値)

$x = 4$ のとき、$y = -(4 - 2)^2 + 1 = -4 + 1 = -3$ (最小値)

(3) $y = 3x^2 + 6x - 1 = 3(x^2 + 2x) - 1 = 3(x + 1)^2 - 3 - 1 = 3(x + 1)^2 - 4$

軸は $x = -1$ で、これは定義域 $1 \le x \le 3$ の外にあります。

$x = 1$ のとき、$y = 3(1 + 1)^2 - 4 = 3(4) - 4 = 12 - 4 = 8$ (最小値)

$x = 3$ のとき、$y = 3(3 + 1)^2 - 4 = 3(16) - 4 = 48 - 4 = 44$ (最大値)

(4) $y = -2x^2 + 14x = -2(x^2 - 7x) = -2(x - \frac{7}{2})^2 + 2(\frac{49}{4}) = -2(x - \frac{7}{2})^2 + \frac{49}{2}$

軸は $x = \frac{7}{2} = 3.5$ で、これは定義域 $0 \le x \le 7$ 内にあります。

$x = \frac{7}{2}$ のとき、$y = \frac{49}{2} = 24.5$ (最大値)

$x = 0$ のとき、$y = 0$ (最小値)

$x = 7$ のとき、$y = -2(7)^2 + 14(7) = -98 + 98 = 0$

3. 最終的な答え

(1) 最大値: 6 (x=3), 最小値: 2 (x=1)

(2) 最大値: 1 (x=2), 最小値: -3 (x=4)

(3) 最大値: 44 (x=3), 最小値: 8 (x=1)

(4) 最大値: 49/2 = 24.5 (x=7/2), 最小値: 0 (x=0 または x=7)