レポート問題1は、与えられた指定番号 (i), (ii) の値を最も簡単な形で表す問題です。 (i) は対数の計算、(ii) は逆三角関数の計算です。

## レポート問題 1

1. 問題の内容

レポート問題1は、与えられた指定番号 (i), (ii) の値を最も簡単な形で表す問題です。

(i) は対数の計算、(ii) は逆三角関数の計算です。

2. 解き方の手順

(0).

* (i) $17^{\log_{17} 50}$

対数の性質 $a^{\log_a x} = x$ より、$17^{\log_{17} 50} = 50$

* (ii) $\cos^{-1} 1$

$\cos \theta = 1$ となる $\theta$ は $\theta = 0$

(1).

* (i) $13^{\log_{13} 51}$

対数の性質 $a^{\log_a x} = x$ より、$13^{\log_{13} 51} = 51$

* (ii) $\cos^{-1} (-1)$

$\cos \theta = -1$ となる $\theta$ は $\theta = \pi$

(2).

* (i) $11^{\log_{11} 52}$

対数の性質 $a^{\log_a x} = x$ より、$11^{\log_{11} 52} = 52$

* (ii) $\sin^{-1} 1$

$\sin \theta = 1$ となる $\theta$ は $\theta = \frac{\pi}{2}$

(3).

* (i) $7^{\log_7 53}$

対数の性質 $a^{\log_a x} = x$ より、$7^{\log_7 53} = 53$

* (ii) $\tan^{-1} \sqrt{3}$

$\tan \theta = \sqrt{3}$ となる $\theta$ は $\theta = \frac{\pi}{3}$

(4).

* (i) $5^{\log_5 54}$

対数の性質 $a^{\log_a x} = x$ より、$5^{\log_5 54} = 54$

* (ii) $\tan^{-1} 1$

$\tan \theta = 1$ となる $\theta$ は $\theta = \frac{\pi}{4}$

3. 最終的な答え

(0). (i) 50, (ii) 0

(1). (i) 51, (ii) $\pi$

(2). (i) 52, (ii) $\frac{\pi}{2}$

(3). (i) 53, (ii) $\frac{\pi}{3}$

(4). (i) 54, (ii) $\frac{\pi}{4}$

## レポート問題 2

1. 問題の内容

レポート問題2は、与えられたベクトル $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ について、内積 $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$ と外積 $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

ベクトル $\mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3)$ と $\mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3)$ について、

* 内積は $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3$ で計算されます。

* 外積は

$$$$

\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (a_2 b_3 - a_3 b_2, a_3 b_1 - a_1 b_3, a_1 b_2 - a_2 b_1)

$$$$

で計算されます。

(0). $\mathbf{a} = (4, -2, 1)$, $\mathbf{b} = (6, 0, -3)$

* $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (4)(6) + (-2)(0) + (1)(-3) = 24 + 0 - 3 = 21$

* $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = ((-2)(-3) - (1)(0), (1)(6) - (4)(-3), (4)(0) - (-2)(6)) = (6 - 0, 6 + 12, 0 + 12) = (6, 18, 12)$

(1). $\mathbf{a} = (4, -2, 1)$, $\mathbf{b} = (6, 1, 0)$

* $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (4)(6) + (-2)(1) + (1)(0) = 24 - 2 + 0 = 22$

* $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = ((-2)(0) - (1)(1), (1)(6) - (4)(0), (4)(1) - (-2)(6)) = (0 - 1, 6 - 0, 4 + 12) = (-1, 6, 16)$

(2). $\mathbf{a} = (4, -2, 1)$, $\mathbf{b} = (5, -1, 1)$

* $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (4)(5) + (-2)(-1) + (1)(1) = 20 + 2 + 1 = 23$

* $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = ((-2)(1) - (1)(-1), (1)(5) - (4)(1), (4)(-1) - (-2)(5)) = (-2 + 1, 5 - 4, -4 + 10) = (-1, 1, 6)$

(3). $\mathbf{a} = (4, -2, 1)$, $\mathbf{b} = (5, -1, 2)$

* $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (4)(5) + (-2)(-1) + (1)(2) = 20 + 2 + 2 = 24$

* $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = ((-2)(2) - (1)(-1), (1)(5) - (4)(2), (4)(-1) - (-2)(5)) = (-4 + 1, 5 - 8, -4 + 10) = (-3, -3, 6)$

(4). $\mathbf{a} = (4, -2, 1)$, $\mathbf{b} = (7, 0, -3)$

* $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (4)(7) + (-2)(0) + (1)(-3) = 28 + 0 - 3 = 25$

* $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = ((-2)(-3) - (1)(0), (1)(7) - (4)(-3), (4)(0) - (-2)(7)) = (6 - 0, 7 + 12, 0 + 14) = (6, 19, 14)$

(5). $\mathbf{a} = (4, -2, 1)$, $\mathbf{b} = (6, -1, 0)$

* $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (4)(6) + (-2)(-1) + (1)(0) = 24 + 2 + 0 = 26$

* $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = ((-2)(0) - (1)(-1), (1)(6) - (4)(0), (4)(-1) - (-2)(6)) = (0 + 1, 6 - 0, -4 + 12) = (1, 6, 8)$

(6). $\mathbf{a} = (4, -2, 1)$, $\mathbf{b} = (5, -2, 3)$

* $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (4)(5) + (-2)(-2) + (1)(3) = 20 + 4 + 3 = 27$

* $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = ((-2)(3) - (1)(-2), (1)(5) - (4)(3), (4)(-2) - (-2)(5)) = (-6 + 2, 5 - 12, -8 + 10) = (-4, -7, 2)$

3. 最終的な答え

(0). $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 21$, $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (6, 18, 12)$

(1). $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 22$, $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (-1, 6, 16)$

(2). $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 23$, $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (-1, 1, 6)$

(3). $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 24$, $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (-3, -3, 6)$

(4). $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 25$, $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (6, 19, 14)$

(5). $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 26$, $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (1, 6, 8)$

(6). $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 27$, $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (-4, -7, 2)$