与えられた行列の計算を行う問題です。問題は3つの小問題に分かれています。 (1) 2つの行列の積を計算します。 (2) 2つの行列の積を計算します。 (3) 2つの行列の積を計算します。

1. 問題の内容

与えられた行列の計算を行う問題です。問題は3つの小問題に分かれています。

(1) 2つの行列の積を計算します。

(2) 2つの行列の積を計算します。

(3) 2つの行列の積を計算します。

2. 解き方の手順

(1)

行列の積を計算します。最初の行列は $3 \times 3$、2番目の行列は $3 \times 3$ なので、結果の行列は $3 \times 3$ になります。

$\begin{pmatrix} 3 & -1 & 2 \\ 1 & 0 & -2 \\ 0 & -2 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 & -2 & -1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

計算は以下のようになります。

$(1,1)$ 成分: $3 \cdot 4 + (-1) \cdot 0 + 2 \cdot 1 = 12 + 0 + 2 = 14$

$(1,2)$ 成分: $3 \cdot (-2) + (-1) \cdot 2 + 2 \cdot 1 = -6 - 2 + 2 = -6$

$(1,3)$ 成分: $3 \cdot (-1) + (-1) \cdot 1 + 2 \cdot 1 = -3 - 1 + 2 = -2$

$(2,1)$ 成分: $1 \cdot 4 + 0 \cdot 0 + (-2) \cdot 1 = 4 + 0 - 2 = 2$

$(2,2)$ 成分: $1 \cdot (-2) + 0 \cdot 2 + (-2) \cdot 1 = -2 + 0 - 2 = -4$

$(2,3)$ 成分: $1 \cdot (-1) + 0 \cdot 1 + (-2) \cdot 1 = -1 + 0 - 2 = -3$

$(3,1)$ 成分: $0 \cdot 4 + (-2) \cdot 0 + (-3) \cdot 1 = 0 + 0 - 3 = -3$

$(3,2)$ 成分: $0 \cdot (-2) + (-2) \cdot 2 + (-3) \cdot 1 = 0 - 4 - 3 = -7$

$(3,3)$ 成分: $0 \cdot (-1) + (-2) \cdot 1 + (-3) \cdot 1 = 0 - 2 - 3 = -5$

(2)

行列の積を計算します。最初の行列は $3 \times 1$、2番目の行列は $1 \times 3$ なので、結果の行列は $3 \times 3$ になります。

$\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -5 & -1 \end{pmatrix}$

計算は以下のようになります。

$(1,1)$ 成分: $3 \cdot 2 = 6$

$(1,2)$ 成分: $3 \cdot (-5) = -15$

$(1,3)$ 成分: $3 \cdot (-1) = -3$

$(2,1)$ 成分: $1 \cdot 2 = 2$

$(2,2)$ 成分: $1 \cdot (-5) = -5$

$(2,3)$ 成分: $1 \cdot (-1) = -1$

$(3,1)$ 成分: $0 \cdot 2 = 0$

$(3,2)$ 成分: $0 \cdot (-5) = 0$

$(3,3)$ 成分: $0 \cdot (-1) = 0$

(3)

行列の積を計算します。最初の行列は $1 \times 3$、2番目の行列は $3 \times 1$ なので、結果の行列は $1 \times 1$ になります。（つまりスカラーになります。）

$\begin{pmatrix} 4 & -2 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix}$

計算は以下のようになります。

$(1,1)$ 成分: $4 \cdot 1 + (-2) \cdot (-3) + 5 \cdot 2 = 4 + 6 + 10 = 20$

3. 最終的な答え

(1)

$\begin{pmatrix} 14 & -6 & -2 \\ 2 & -4 & -3 \\ -3 & -7 & -5 \end{pmatrix}$

(2)

$\begin{pmatrix} 6 & -15 & -3 \\ 2 & -5 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

(3)

$\begin{pmatrix} 20 \end{pmatrix} = 20$