$x = \frac{\sqrt{6} - 2}{\sqrt{6} + 2}$、 $y = \frac{\sqrt{6} + 2}{\sqrt{6} - 2}$のとき、以下の式の値を求めます。 (1) $x+y$ (2) $xy$ (3) $x^2 + y^2$

1. 問題の内容

$x = \frac{\sqrt{6} - 2}{\sqrt{6} + 2}$、 $y = \frac{\sqrt{6} + 2}{\sqrt{6} - 2}$のとき、以下の式の値を求めます。

(1) $x+y$

(2) $xy$

(3) $x^2 + y^2$

2. 解き方の手順

(1) $x+y$を計算します。

$x + y = \frac{\sqrt{6} - 2}{\sqrt{6} + 2} + \frac{\sqrt{6} + 2}{\sqrt{6} - 2}$

通分します。

$x + y = \frac{(\sqrt{6} - 2)^2 + (\sqrt{6} + 2)^2}{(\sqrt{6} + 2)(\sqrt{6} - 2)}$

分子を展開します。

$x + y = \frac{(6 - 4\sqrt{6} + 4) + (6 + 4\sqrt{6} + 4)}{6 - 4}$

$x + y = \frac{10 - 4\sqrt{6} + 10 + 4\sqrt{6}}{2}$

$x + y = \frac{20}{2}$

$x + y = 10$

(2) $xy$を計算します。

$xy = \frac{\sqrt{6} - 2}{\sqrt{6} + 2} \cdot \frac{\sqrt{6} + 2}{\sqrt{6} - 2}$

$xy = 1$

(3) $x^2 + y^2$を計算します。

$(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$なので、$x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy$です。

$x+y = 10$、 $xy = 1$なので、

$x^2 + y^2 = 10^2 - 2(1)$

$x^2 + y^2 = 100 - 2$

$x^2 + y^2 = 98$

3. 最終的な答え

(1) $x+y = 10$

(2) $xy = 1$

(3) $x^2 + y^2 = 98$