平面上の3点O(0, 0), A(63, 0), B(15, 20)に対して、三角形OABの重心、外心、内心、垂心の座標をそれぞれ求める。

1. 問題の内容

平面上の3点O(0, 0), A(63, 0), B(15, 20)に対して、三角形OABの重心、外心、内心、垂心の座標をそれぞれ求める。

2. 解き方の手順

(1) 重心

重心は三角形の頂点の座標の平均なので、

重心の座標は $(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3})$で求められる。

よって、

重心のx座標は $\frac{0+63+15}{3} = \frac{78}{3} = 26$

重心のy座標は $\frac{0+0+20}{3} = \frac{20}{3}$

(2) 外心

外心は三角形の外接円の中心であり、各頂点からの距離が等しい点である。

外心の座標を(x, y)とおくと、

$x^2 + y^2 = (x-63)^2 + y^2 = (x-15)^2 + (y-20)^2$

まず、$x^2 + y^2 = (x-63)^2 + y^2$ より

$x^2 = x^2 - 126x + 63^2$

$126x = 63^2$

$x = \frac{63^2}{126} = \frac{63}{2} = 31.5$

次に、$x^2 + y^2 = (x-15)^2 + (y-20)^2$ に $x=31.5$ を代入する。

$31.5^2 + y^2 = (31.5-15)^2 + (y-20)^2$

$31.5^2 + y^2 = 16.5^2 + y^2 - 40y + 400$

$31.5^2 - 16.5^2 = -40y + 400$

$(31.5+16.5)(31.5-16.5) = 48 \times 15 = 720 = -40y + 400$

$320 = -40y$

$y = -8$

よって外心の座標は (31.5, -8)

(3) 内心

内心は三角形の内接円の中心であり、各辺からの距離が等しい点である。

内心の座標は、各頂点の座標に、対辺の長さを重みとしてかけたものの平均として求められる。

まず、各辺の長さを求める。

$OA = \sqrt{(63-0)^2 + (0-0)^2} = 63$

$OB = \sqrt{(15-0)^2 + (20-0)^2} = \sqrt{225 + 400} = \sqrt{625} = 25$

$AB = \sqrt{(63-15)^2 + (0-20)^2} = \sqrt{48^2 + 20^2} = \sqrt{2304 + 400} = \sqrt{2704} = 52$

内心の座標は $(\frac{OA \cdot x_B + OB \cdot x_A + AB \cdot x_O}{OA+OB+AB}, \frac{OA \cdot y_B + OB \cdot y_A + AB \cdot y_O}{OA+OB+AB})$ で求められる。

内心のx座標は $\frac{63 \times 15 + 25 \times 63 + 52 \times 0}{63+25+52} = \frac{945 + 1575}{140} = \frac{2520}{140} = 18$

内心のy座標は $\frac{63 \times 20 + 25 \times 0 + 52 \times 0}{63+25+52} = \frac{1260}{140} = 9$

よって内心の座標は (18, 9)

(4) 垂心

垂心は各頂点から対辺に下ろした垂線の交点である。

OからABに下ろした垂線の傾きは、ABの傾き$-\frac{20}{48} = -\frac{5}{12}$の負の逆数であるから、$\frac{12}{5}$

Oから下ろした垂線の方程式は $y = \frac{12}{5}x$

AからOBに下ろした垂線の傾きは、OBの傾き$\frac{20}{15} = \frac{4}{3}$の負の逆数であるから、$-\frac{3}{4}$

Aから下ろした垂線の方程式は $y = -\frac{3}{4}(x-63)$

$y = \frac{12}{5}x$ と $y = -\frac{3}{4}(x-63)$ の交点を求める

$\frac{12}{5}x = -\frac{3}{4}x + \frac{189}{4}$

$\frac{12}{5}x + \frac{3}{4}x = \frac{48+15}{20}x = \frac{63}{20}x = \frac{189}{4}$

$x = \frac{189}{4} \times \frac{20}{63} = 3 \times 5 = 15$

$y = \frac{12}{5} \times 15 = 12 \times 3 = 36$

よって垂心の座標は (15, 36)

3. 最終的な答え

(1) 重心: (26, 20/3)

(2) 外心: (31.5, -8)

(3) 内心: (18, 9)

(4) 垂心: (15, 36)