2次関数 $y=x^2$ について、以下の問いに答える問題です。 (1) $x$ が -2 から 6 まで増加するときの変化の割合を求めよ。 (2) $-4 \le x \le 2$ のときの $y$ の変域を求めよ。 (3) グラフは [ア] 軸に関して対称で、$y = -x^2$ のグラフとは [イ] 軸に関して対称である。 (4) $y = 2x^2$ のグラフと比較して、グラフの開き方が [ウ]。 (5) $x = 3$ のときの $y$ の値を求めよ。 (6) $y = 5$ のときの $x$ の値を求めよ。 (7) $y = x + 2$ のグラフとの交点の座標を求めよ。

1. 問題の内容

2次関数 $y=x^2$ について、以下の問いに答える問題です。

(1) $x$ が -2 から 6 まで増加するときの変化の割合を求めよ。

(2) $-4 \le x \le 2$ のときの $y$ の変域を求めよ。

(3) グラフは [ア] 軸に関して対称で、$y = -x^2$ のグラフとは [イ] 軸に関して対称である。

(4) $y = 2x^2$ のグラフと比較して、グラフの開き方が [ウ]。

(5) $x = 3$ のときの $y$ の値を求めよ。

(6) $y = 5$ のときの $x$ の値を求めよ。

(7) $y = x + 2$ のグラフとの交点の座標を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 変化の割合は、$\frac{yの増加量}{xの増加量}$ で求められます。

$x = -2$ のとき $y = (-2)^2 = 4$

$x = 6$ のとき $y = 6^2 = 36$

変化の割合 = $\frac{36 - 4}{6 - (-2)} = \frac{32}{8} = 4$

(2) $y = x^2$ のグラフは下に凸の放物線であり、頂点は原点(0,0)です。

$-4 \le x \le 2$ の範囲で、$x = 0$ のときに $y$ は最小値 0 をとります。

$x = -4$ のとき $y = (-4)^2 = 16$

$x = 2$ のとき $y = 2^2 = 4$

したがって、最大値は 16 となります。

$y$ の変域は $0 \le y \le 16$

(3) $y = x^2$ のグラフは $y$ 軸に関して対称です。

$y = -x^2$ のグラフとは $x$ 軸に関して対称です。

(4) $y = 2x^2$ のグラフは $y = x^2$ のグラフよりも開き方が狭いです。

(5) $x = 3$ のとき $y = 3^2 = 9$

(6) $y = 5$ のとき $x^2 = 5$ なので、$x = \pm \sqrt{5}$

(7) $y = x^2$ と $y = x + 2$ の交点を求めるには、連立方程式を解きます。

$x^2 = x + 2$

$x^2 - x - 2 = 0$

$(x - 2)(x + 1) = 0$

$x = 2, -1$

$x = 2$ のとき $y = 2 + 2 = 4$

$x = -1$ のとき $y = -1 + 2 = 1$

よって、交点の座標は $(2, 4)$ と $(-1, 1)$

3. 最終的な答え

(1) 4

(2) $0 \le y \le 16$

(3) ア: $y$, イ: $x$

(4) ウ: 狭い

(5) 9

(6) $x = \pm \sqrt{5}$

(7) $(2, 4)$, $(-1, 1)$