$x$は実数とする。集合を用いて、次の命題 $A \implies B$ の真偽を調べよ。 (1) $1 < x < 2 \implies 1 < x < 3$ (2) $x < 1 \implies 0 < x < 1$ (3) $x > 3 \implies |x+1| > 2$

1. 問題の内容

$x$は実数とする。集合を用いて、次の命題 $A \implies B$ の真偽を調べよ。

(1) $1 < x < 2 \implies 1 < x < 3$

(2) $x < 1 \implies 0 < x < 1$

(3) $x > 3 \implies |x+1| > 2$

2. 解き方の手順

(1) $1 < x < 2 \implies 1 < x < 3$

$A = \{x | 1 < x < 2\}$

$B = \{x | 1 < x < 3\}$

$A$は$B$の部分集合である。つまり、$A \subset B$。

したがって、命題は真である。

(2) $x < 1 \implies 0 < x < 1$

$A = \{x | x < 1\}$

$B = \{x | 0 < x < 1\}$

$A$は$B$の部分集合ではない。例えば、$x = -1$は$x < 1$を満たすが、$0 < x < 1$を満たさない。

したがって、命題は偽である。

(3) $x > 3 \implies |x+1| > 2$

$x > 3$のとき、$x+1 > 4$なので、$|x+1| = x+1 > 4 > 2$。

したがって、$|x+1| > 2$。

よって、命題は真である。

3. 最終的な答え

(1) 真

(2) 偽

(3) 真