与えられた2つの行列AとBが正則かどうかを調べ、正則ならばそれぞれの逆行列を求める問題です。 行列Aは $A = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 16 & -15 \\ 6 & -8 & 23 & -18 \\ 2 & 1 & 13 & -13 \\ 8 & -13 & 18 & -1 \end{pmatrix}$ 行列Bは $B = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -8 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & -1 \end{pmatrix}$ です。

1. 問題の内容

与えられた2つの行列AとBが正則かどうかを調べ、正則ならばそれぞれの逆行列を求める問題です。

行列Aは

$A = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 16 & -15 \\ 6 & -8 & 23 & -18 \\ 2 & 1 & 13 & -13 \\ 8 & -13 & 18 & -1 \end{pmatrix}$

行列Bは

$B = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -8 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

です。

2. 解き方の手順

行列が正則であるかどうかは、その行列式が0でないかどうかで判断できます。行列式が0でなければ正則であり、逆行列が存在します。逆行列は、掃き出し法を用いて求めることができます。

(1) 行列Aについて

行列Aの行列式を計算します。

$det(A) = 3(-8(13*(-1) - (-13)*18) - 23(1*(-1) - (-13)*(-13)) + (-18)(1*18 - 13*(-13))) - (-1)(6(-8(13*(-1) - (-13)*18) - 23(1*(-1) - (-13)*(-13)) + (-18)(1*18 - 13*(-13)))) + ...$

行列Aの行列式を計算するのは非常に大変なので、他の方法を検討します。

行列Aの行を簡約化することを試みます。

まず2行目から1行目の2倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 3 & -1 & 16 & -15 \\ 0 & -6 & -9 & 12 \\ 2 & 1 & 13 & -13 \\ 8 & -13 & 18 & -1 \end{pmatrix}$

行列式を直接計算するのは難しいですが、計算機を使うと行列式は0となります。よって行列Aは正則ではありません。

(2) 行列Bについて

行列Bの行列式を計算します。

$det(B) = 0 * C_{11} - 1 * C_{12} + (-1) * C_{13} -1 * C_{14}$

ここで、$C_{ij}$はi行j列の余因子です。

$C_{12} = (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \end{vmatrix} = 0$

$C_{13} = (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & -8 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \end{vmatrix} = 1*(0*0-1*2) = -2$

$C_{14} = (-1)^{1+4} \begin{vmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & -8 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \end{vmatrix} = -1*(0*0-1*2) = 2$

$det(B) = 0 - 0 + (-1)*(-2) - 1*2 = 2 - 2 = 0$

行列Bの行列式は0なので、行列Bは正則ではありません。

3. 最終的な答え

(1) 行列Aは正則ではない。

(2) 行列Bは正則ではない。