与えられた4つの命題の真偽を判定する問題です。 (1) $1 < x < 2 \implies 1 < x < 3$ (2) $x < 1 \implies 0 < x < 1$ (3) $x > 3 \implies |x+1| > 2$ (4) $|x| \le 2 \implies |x-1| < 3$

1. 問題の内容

与えられた4つの命題の真偽を判定する問題です。

(1) $1 < x < 2 \implies 1 < x < 3$

(2) $x < 1 \implies 0 < x < 1$

(3) $x > 3 \implies |x+1| > 2$

(4) $|x| \le 2 \implies |x-1| < 3$

2. 解き方の手順

各命題について、真偽を判定します。

(1) $1 < x < 2$ は $1 < x < 3$ に含まれるので、この命題は真です。

(2) $x < 1$ は $0 < x < 1$ を含みません。例えば、$x = -1$ は $x < 1$ を満たしますが、$0 < x < 1$ は満たしません。したがって、この命題は偽です。

(3) $x > 3$ ならば、$x+1 > 4$ なので、$|x+1| = x+1 > 4 > 2$ となります。したがって、この命題は真です。

(4) $|x| \le 2$ は $-2 \le x \le 2$ を意味します。

$|x-1| < 3$ は $-3 < x-1 < 3$ を意味し、これは $-2 < x < 4$ と同値です。

$-2 \le x \le 2$ は $-2 < x < 4$ に含まれるので、この命題は真です。

3. 最終的な答え

(1) 真

(2) 偽

(3) 真

(4) 真