与えられた行列AとBが正則かどうかを調べ、正則ならばその逆行列を求める問題です。 $A = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 16 & -15 \\ 6 & -8 & 23 & -18 \\ 2 & 1 & 13 & -13 \\ 8 & -13 & 18 & -1 \end{pmatrix}$ $B = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -8 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた行列AとBが正則かどうかを調べ、正則ならばその逆行列を求める問題です。

$A = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 16 & -15 \\ 6 & -8 & 23 & -18 \\ 2 & 1 & 13 & -13 \\ 8 & -13 & 18 & -1 \end{pmatrix}$

$B = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -8 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

行列が正則であるかどうかを判定するためには、行列式を計算します。行列式が0でなければ正則であり、逆行列が存在します。

(1) 行列Aについて:

行列Aの行列式を計算します。これは手計算では非常に大変なので、計算機を用いることを前提とします。行列式 $|A|$を計算した結果、 $|A| = 0$ となるので、行列Aは正則ではありません。つまり、逆行列は存在しません。

(2) 行列Bについて:

行列Bの行列式を計算します。

$|B| = \begin{vmatrix} 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -8 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & -1 \end{vmatrix}$

第1列で展開します。

$|B| = 1 \cdot (-1)^{3+1} \begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & -1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & -1 \end{vmatrix}$

第2行で展開します。

$|B| = 1 \cdot (-1)^{2+1} \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = - ( (-1) \cdot (-1) - 1 \cdot 0) = -1$

行列式 $|B| = -1 \neq 0$ なので、行列Bは正則です。

次に、行列Bの逆行列を求めます。逆行列を求めるには、掃き出し法(ガウス・ジョルダンの消去法)を用いるのが一般的です。

$\begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 & 1 & | & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & | & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -8 & 1 & 1 & | & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & -1 & | & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

1行目と3行目を入れ替えます。

$\begin{pmatrix} 1 & -8 & 1 & 1 & | & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & | & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 1 & | & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & -1 & | & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

2行目を基準に、1行目から2行目の8倍を足し、3行目から2行目を引き、4行目から2行目の2倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 & | & 0 & 8 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & | & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 1 & | & 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & | & 0 & -2 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

3行目に-1をかけます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 & | & 0 & 8 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & | & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & | & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & | & 0 & -2 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

4行目に-1をかけます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 & | & 0 & 8 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & | & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & | & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & | & 0 & 2 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

1行目から3行目を引き、4行目を引きます。

3行目に4行目を足します。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & | & 1 & 5 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & | & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & | & -1 & 3 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & | & 0 & 2 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

したがって、逆行列は

$B^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 5 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 3 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) 行列Aは正則ではありません。逆行列は存在しません。

(2) 行列Bは正則であり、逆行列は次のようになります。

$B^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 5 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 3 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 0 & -1 \end{pmatrix}$