x, y は実数とする。次の空欄に、以下の選択肢から適切な番号を記入せよ。 1. 必要条件であるが十分条件ではない

1. 問題の内容

x, y は実数とする。次の空欄に、以下の選択肢から適切な番号を記入せよ。

1. 必要条件であるが十分条件ではない

2. 十分条件であるが必要条件ではない

3. 必要十分条件である

4. 必要条件でも十分条件でもない

(1) $x = 2$ は $x^2 - 5x + 6 = 0$ であるための〇〇条件

(2) $x \neq 0$ は $(x-1)(x-2) = 0$ であるための〇〇条件

(3) $xy = 1$ は $x = 1$ であるための〇〇条件

(4) $|x| = 0$ は $x = 0$ であるための〇〇条件

(5) $x = y = 2$ は $2x - y = 2y - 2 = 2$ であるための〇〇条件

2. 解き方の手順

(1) $x = 2$ は $x^2 - 5x + 6 = 0$ であるための条件

$x^2 - 5x + 6 = 0$ を解くと、$(x-2)(x-3) = 0$ より $x = 2, 3$ となる。

$x = 2$ ならば $x^2 - 5x + 6 = 0$ は成り立つ（十分条件）

$x^2 - 5x + 6 = 0$ ならば $x = 2$ であるとは限らない（必要条件ではない。$x=3$の場合もある）

よって、十分条件であるが必要条件ではない。答えは2。

(2) $x \neq 0$ は $(x-1)(x-2) = 0$ であるための条件

$(x-1)(x-2) = 0$ を解くと $x = 1, 2$ となる。

$x \neq 0$ ならば $(x-1)(x-2) = 0$ とは限らない。例えば $x = 3$ の場合、$x \neq 0$ だが、$(x-1)(x-2) = (3-1)(3-2) = 2 \neq 0$ 。（十分条件ではない）

$(x-1)(x-2) = 0$ ならば $x = 1$ または $x = 2$ なので、$x \neq 0$ は成り立つ。（必要条件）

よって、必要条件であるが十分条件ではない。答えは1。

(3) $xy = 1$ は $x = 1$ であるための条件

$x = 1$ ならば $xy = y = 1$ より、$y=1$ の場合に $xy = 1$ が成り立つ。（十分条件ではない）

$xy = 1$ ならば $x = 1$ とは限らない。例えば $x = 2, y = 1/2$ の場合、$xy = 1$ だが $x = 1$ ではない。（必要条件ではない）

よって、必要条件でも十分条件でもない。答えは4。

(4) $|x| = 0$ は $x = 0$ であるための条件

$|x| = 0$ ならば $x = 0$

$x = 0$ ならば $|x| = |0| = 0$

よって、必要十分条件である。答えは3。

(5) $x = y = 2$ は $2x - y = 2y - 2 = 2$ であるための条件

$x = y = 2$ ならば $2x - y = 2(2) - 2 = 2$ であり、$2y - 2 = 2(2) - 2 = 2$ 。

よって、$x = y = 2$ ならば $2x - y = 2y - 2 = 2$ （十分条件）

$2x - y = 2$ かつ $2y - 2 = 2$ より、$2y = 4$ なので $y = 2$ 。

$2x - 2 = 2$ なので $2x = 4$ より $x = 2$ 。

よって、$2x - y = 2y - 2 = 2$ ならば $x = y = 2$ （必要条件）

必要十分条件である。答えは3。

3. 最終的な答え

(1) 2

(2) 1

(3) 4

(4) 3

(5) 3