A, B, C, D, E, a, b, c のアルファベットが書かれた 8 枚のカードから 5 枚を選んで並べる。両端のアルファベットが小文字であるような並べ方は何通りあるか求める。

1. 問題の内容

A, B, C, D, E, a, b, c のアルファベットが書かれた 8 枚のカードから 5 枚を選んで並べる。両端のアルファベットが小文字であるような並べ方は何通りあるか求める。

2. 解き方の手順

まず、両端にくる小文字を選ぶことを考えます。 小文字は a, b, c の 3 つあります。

(1) 両端の選び方: 3 つの小文字から 2 つを選んで並べる順列なので、 $_3P_2 = 3 \times 2 = 6$ 通り。

次に、残りの 3 つの文字の選び方を考えます。

(2) 残りの文字を選ぶ: 既に両端に 2 つの小文字を使っているので、残りの文字は 8 - 2 = 6 個から 3 個選びます。 これは、$_6C_3 = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$ 通り。

(3) 選んだ 3 つの文字を並べる: 選んだ 3 つの文字を並べる順列は、 $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ 通り。

したがって、全体の並べ方は、 (1), (2), (3) を掛け合わせたものになります。

全体の並べ方 = $6 \times 20 \times 6 = 720$ 通り。

3. 最終的な答え

720 通り