$(x+y+2z)(2x+3y-z)(4x-y-3z)$ を展開したときの $xyz$ の項の係数を求める問題です。

1. 問題の内容

$(x+y+2z)(2x+3y-z)(4x-y-3z)$ を展開したときの $xyz$ の項の係数を求める問題です。

2. 解き方の手順

$xyz$ の項を作るには、それぞれの括弧から $x, y, z$ を一つずつ選んで掛け合わせる必要があります。考えられる組み合わせは以下の通りです。

* 1つ目の括弧から $x$, 2つ目の括弧から $y$, 3つ目の括弧から $z$

* 1つ目の括弧から $x$, 2つ目の括弧から $z$, 3つ目の括弧から $y$

* 1つ目の括弧から $y$, 2つ目の括弧から $x$, 3つ目の括弧から $z$

* 1つ目の括弧から $y$, 2つ目の括弧から $z$, 3つ目の括弧から $x$

* 1つ目の括弧から $z$, 2つ目の括弧から $x$, 3つ目の括弧から $y$

* 1つ目の括弧から $z$, 2つ目の括弧から $y$, 3つ目の括弧から $x$

それぞれの組み合わせについて係数を計算し、それらを足し合わせます。

1. $x \cdot 3y \cdot (-3z) = -9xyz$

2. $x \cdot (-z) \cdot (-y) = xy(-1)(-1)z = xyz$

3. $y \cdot 2x \cdot (-3z) = -6xyz$

4. $y \cdot (-z) \cdot 4x = -4xyz$

5. $2z \cdot 2x \cdot (-y) = -4xyz$

6. $2z \cdot 3y \cdot 4x = 24xyz$

したがって、$xyz$ の係数は、 $-9 + 1 - 6 - 4 - 4 + 24$ となります。

$-9 + 1 - 6 - 4 - 4 + 24 = 2$

3. 最終的な答え

$xyz$ の係数は $2$ です。