次の和を求めます。 $1 \cdot (3n-2) + 3 \cdot (3n-5) + 5 \cdot (3n-8) + \cdots + (2n-3) \cdot 4 + (2n-1) \cdot 1$

1. 問題の内容

次の和を求めます。

$1 \cdot (3n-2) + 3 \cdot (3n-5) + 5 \cdot (3n-8) + \cdots + (2n-3) \cdot 4 + (2n-1) \cdot 1$

2. 解き方の手順

与えられた数列の一般項を求め、和を計算します。

まず、数列の各項を次のように表現します。

第 $k$ 項は、$(2k-1) \cdot (3n - 3k + 1)$ と表されます。ここで $k$ は 1 から $n$ までの整数です。

したがって、求める和は次のようになります。

$\sum_{k=1}^n (2k-1)(3n-3k+1)$

この式を展開します。

$\sum_{k=1}^n (6nk - 6k^2 + 2k - 3n + 3k - 1)$

$=\sum_{k=1}^n (6nk - 6k^2 + 5k - 3n - 1)$

$= 6n\sum_{k=1}^n k - 6\sum_{k=1}^n k^2 + 5\sum_{k=1}^n k - \sum_{k=1}^n (3n+1)$

ここで、次の公式を使います。

$\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^n 1 = n$

これらの公式を代入すると、

$6n \cdot \frac{n(n+1)}{2} - 6 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 5 \cdot \frac{n(n+1)}{2} - (3n+1)n$

$= 3n^2(n+1) - n(n+1)(2n+1) + \frac{5}{2}n(n+1) - (3n^2+n)$

$= 3n^3 + 3n^2 - n(2n^2+3n+1) + \frac{5}{2}(n^2+n) - 3n^2 - n$

$= 3n^3 + 3n^2 - 2n^3 - 3n^2 - n + \frac{5}{2}n^2 + \frac{5}{2}n - 3n^2 - n$

$= n^3 - 3n^2 - n + \frac{5}{2}n^2 + \frac{5}{2}n$

$= n^3 - \frac{1}{2}n^2 + \frac{3}{2}n$

$= \frac{n(2n^2 - n + 3)}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(2n^2 - n + 3)}{2}$