与えられた問題は3つあります。それぞれ以下の通りです。 (3) $(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac+bd)^2 + (ad-bc)^2$ を証明する。 (4) $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ のとき、$\frac{a+c}{b+d} = \frac{3a-5c}{3b-5d}$ を証明する。ただし、$bd(b+d)(3b-5d) \neq 0$とする。 (5) $a+b+c=0$ のとき、$a(a+b)(c+a)^2 + b(b+c)(a+b)^2 + c(c+a)(b+c)^2 = 0$ を証明する。

1. 問題の内容

与えられた問題は3つあります。それぞれ以下の通りです。

(3) $(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac+bd)^2 + (ad-bc)^2$ を証明する。

(4) $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ のとき、$\frac{a+c}{b+d} = \frac{3a-5c}{3b-5d}$ を証明する。ただし、$bd(b+d)(3b-5d) \neq 0$とする。

(5) $a+b+c=0$ のとき、$a(a+b)(c+a)^2 + b(b+c)(a+b)^2 + c(c+a)(b+c)^2 = 0$ を証明する。

2. 解き方の手順

(3)

左辺を展開します。

$(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2$

右辺を展開します。

$(ac+bd)^2 + (ad-bc)^2 = (a^2c^2 + 2acbd + b^2d^2) + (a^2d^2 - 2adbc + b^2c^2) = a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2$

左辺と右辺は等しいので、等式は成り立ちます。

(4)

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ より、$ad = bc$ が成り立ちます。

$\frac{a+c}{b+d} = \frac{3a-5c}{3b-5d}$ を証明するために、クロスの積が等しいことを示します。

$(a+c)(3b-5d) = 3ab - 5ad + 3bc - 5cd$

$(b+d)(3a-5c) = 3ab - 5bc + 3ad - 5cd$

ここで、$ad = bc$ を代入します。

$3ab - 5ad + 3bc - 5cd = 3ab - 5bc + 3ad - 5cd$

したがって、等式は成り立ちます。

(5)

$a+b+c=0$ より、$a+b = -c$, $b+c = -a$, $c+a = -b$ です。

$a(a+b)(c+a)^2 + b(b+c)(a+b)^2 + c(c+a)(b+c)^2 = 0$

$a(-c)(-b)^2 + b(-a)(-c)^2 + c(-b)(-a)^2 = 0$

$-acb^2 - bac^2 - cba^2 = 0$

$-abc(a+b+c) = 0$

$a+b+c = 0$ なので、

$-abc(0) = 0$

したがって、等式は成り立ちます。

3. 最終的な答え

(3) $(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac+bd)^2 + (ad-bc)^2$ は成り立つ。

(4) $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ のとき、$\frac{a+c}{b+d} = \frac{3a-5c}{3b-5d}$ は成り立つ。

(5) $a+b+c=0$ のとき、$a(a+b)(c+a)^2 + b(b+c)(a+b)^2 + c(c+a)(b+c)^2 = 0$ は成り立つ。