与えられた6つの2次関数について、最大値または最小値があれば、それを求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた6つの2次関数について、最大値または最小値があれば、それを求める問題です。

2. 解き方の手順

2次関数 $y = ax^2 + bx + c$ の最大値・最小値を求めるには、平方完成して頂点の座標を求めます。

* $a > 0$ のとき、下に凸のグラフになり、最小値を持ちます。頂点のy座標が最小値になります。

* $a < 0$ のとき、上に凸のグラフになり、最大値を持ちます。頂点のy座標が最大値になります。

それぞれの関数について、平方完成を行い、最大値・最小値を求めます。

(1) $y = x^2 - 4x - 4$

$y = (x - 2)^2 - 4 - 4 = (x - 2)^2 - 8$

最小値: $-8$ ($x = 2$のとき)

(2) $y = -x^2 + 2x - 3$

$y = -(x^2 - 2x) - 3 = -(x - 1)^2 + 1 - 3 = -(x - 1)^2 - 2$

最大値: $-2$ ($x = 1$のとき)

(3) $y = 3x^2 + 12x - 6$

$y = 3(x^2 + 4x) - 6 = 3(x + 2)^2 - 12 - 6 = 3(x + 2)^2 - 18$

最小値: $-18$ ($x = -2$のとき)

(4) $y = 2x^2 - 4x + 5$

$y = 2(x^2 - 2x) + 5 = 2(x - 1)^2 - 2 + 5 = 2(x - 1)^2 + 3$

最小値: $3$ ($x = 1$のとき)

(5) $y = 2(x - 1)(x + 4) = 2(x^2 + 3x - 4) = 2x^2 + 6x - 8$

$y = 2(x^2 + 3x) - 8 = 2(x + \frac{3}{2})^2 - 2 \cdot \frac{9}{4} - 8 = 2(x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{2} - \frac{16}{2} = 2(x + \frac{3}{2})^2 - \frac{25}{2}$

最小値: $-\frac{25}{2}$ ($x = -\frac{3}{2}$のとき)

(6) $y = -\frac{1}{2}x^2 + x$

$y = -\frac{1}{2}(x^2 - 2x) = -\frac{1}{2}(x - 1)^2 + \frac{1}{2}$

最大値: $\frac{1}{2}$ ($x = 1$のとき)

3. 最終的な答え

(1) 最小値: $-8$ ($x = 2$のとき)

(2) 最大値: $-2$ ($x = 1$のとき)

(3) 最小値: $-18$ ($x = -2$のとき)

(4) 最小値: $3$ ($x = 1$のとき)

(5) 最小値: $-\frac{25}{2}$ ($x = -\frac{3}{2}$のとき)

(6) 最大値: $\frac{1}{2}$ ($x = 1$のとき)