与えられた4x4の行列式を因数分解する問題です。行列式は以下の通りです。 $ \begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & z & -y \\ 1 & -z & 0 & x \\ 1 & y & -x & 0 \end{vmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた4x4の行列式を因数分解する問題です。行列式は以下の通りです。

$ \begin{vmatrix}

0 & 1 & 1 & 1 \\

1 & 0 & z & -y \\

1 & -z & 0 & x \\

1 & y & -x & 0

\end{vmatrix} $

2. 解き方の手順

まず、行列式を計算します。

$\begin{vmatrix}

0 & 1 & 1 & 1 \\

1 & 0 & z & -y \\

1 & -z & 0 & x \\

1 & y & -x & 0

\end{vmatrix}$

1行目に関して余因子展開を行います。

$= 0 \cdot C_{11} + 1 \cdot C_{12} + 1 \cdot C_{13} + 1 \cdot C_{14}$

$= C_{12} + C_{13} + C_{14}$

ここで、$C_{ij}$は$(i,j)$要素の余因子です。

$C_{12} = (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} 1 & z & -y \\ 1 & 0 & x \\ 1 & -x & 0 \end{vmatrix} = -1 (1(0+x^2) - z(0-x) - y(-x-0)) = -(x^2 + xz + xy) = -x(x+y+z)$

$C_{13} = (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} 1 & 0 & -y \\ 1 & -z & x \\ 1 & y & 0 \end{vmatrix} = 1(1(0-xy) - 0 + (-y)(y+z)) = -xy - y^2 - yz = -y(x+y+z)$

$C_{14} = (-1)^{1+4} \begin{vmatrix} 1 & 0 & z \\ 1 & -z & 0 \\ 1 & y & -x \end{vmatrix} = -1 (1(xz-0) - 0 + z(y+z)) = -(xz+yz+z^2) = -z(x+y+z)$

したがって、

$C_{12} + C_{13} + C_{14} = -x(x+y+z) -y(x+y+z) - z(x+y+z) = -(x+y+z)(x+y+z) = -(x+y+z)^2$

よって、

$\begin{vmatrix}

0 & 1 & 1 & 1 \\

1 & 0 & z & -y \\

1 & -z & 0 & x \\

1 & y & -x & 0

\end{vmatrix} = -(x+y+z)^2$

3. 最終的な答え

$-(x+y+z)^2$