行列 $A = \begin{pmatrix} x-1 & -7 \\ 9 & y+3 \end{pmatrix}$ が $A = A^{-1}$ を満たすとき、$x$ と $y$ の値を求める問題です。ただし、$x < y$ という条件があります。

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} x-1 & -7 \\ 9 & y+3 \end{pmatrix}$ が $A = A^{-1}$ を満たすとき、$x$ と $y$ の値を求める問題です。ただし、$x < y$ という条件があります。

2. 解き方の手順

$A = A^{-1}$ が成り立つとき、$A^2 = A A^{-1} = I$ となります。ここで、$I$ は単位行列です。

したがって、$A^2$ を計算し、$I$ と等しくなるように $x$ と $y$ を求めます。

$A^2 = \begin{pmatrix} x-1 & -7 \\ 9 & y+3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x-1 & -7 \\ 9 & y+3 \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} (x-1)^2 - 63 & -7(x-1) - 7(y+3) \\ 9(x-1) + 9(y+3) & -63 + (y+3)^2 \end{pmatrix}$

これが単位行列 $I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ と等しくなるので、以下の連立方程式が得られます。

1. $(x-1)^2 - 63 = 1$

2. $-7(x-1) - 7(y+3) = 0$

3. $9(x-1) + 9(y+3) = 0$

4. $-63 + (y+3)^2 = 1$

式1から、$(x-1)^2 = 64$ となり、$x-1 = \pm 8$ となります。

したがって、$x = 9$ または $x = -7$ です。

式4から、$(y+3)^2 = 64$ となり、$y+3 = \pm 8$ となります。

したがって、$y = 5$ または $y = -11$ です。

式2と式3は同値であり、$x-1 + y+3 = 0$ つまり $x+y+2=0$ という関係式が得られます。

$x+y = -2$ を満たす組み合わせを考えます。

もし $x = 9$ ならば、$y = -11$ となります。

もし $x = -7$ ならば、$y = 5$ となります。

条件 $x < y$ より、$x= -7$ かつ $y=5$ が正しい組み合わせです。

3. 最終的な答え

$x = -7$

$y = 5$