与えられた行列 $D$ の逆行列 $D^{-1}$ を求め、$D^{-1}$ の成分を特定せよ。ただし、$D = \begin{bmatrix} 3 & -1 & 2 \\ 4 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 1 \end{bmatrix}$ であり、$D^{-1} = \frac{a}{b} \begin{bmatrix} ア & イ & ウ \\ エ & オ & カ \\ キ & ク & ケ \end{bmatrix}$ と表されている。

1. 問題の内容

与えられた行列 $D$ の逆行列 $D^{-1}$ を求め、$D^{-1}$ の成分を特定せよ。ただし、$D = \begin{bmatrix} 3 & -1 & 2 \\ 4 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 1 \end{bmatrix}$ であり、$D^{-1} = \frac{a}{b} \begin{bmatrix} ア & イ & ウ \\ エ & オ & カ \\ キ & ク & ケ \end{bmatrix}$ と表されている。

2. 解き方の手順

まず、行列 $D$ の行列式 $|D|$ を計算する。

$|D| = 3(1\cdot1 - (-2)\cdot(-1)) - (-1)(4\cdot1 - (-2)\cdot1) + 2(4\cdot(-1) - 1\cdot1)$

$= 3(1-2) + (4+2) + 2(-4-1)$

$= 3(-1) + 6 + 2(-5)$

$= -3 + 6 - 10$

$= -7$

したがって、$b = -7$ である。

次に、$D$ の余因子行列 $C$ を計算する。

$C_{11} = (1\cdot1 - (-2)\cdot(-1)) = 1 - 2 = -1$

$C_{12} = -(4\cdot1 - (-2)\cdot1) = -(4+2) = -6$

$C_{13} = (4\cdot(-1) - 1\cdot1) = -4-1 = -5$

$C_{21} = -((-1)\cdot1 - 2\cdot(-1)) = -( -1+2) = -1$

$C_{22} = (3\cdot1 - 2\cdot1) = 3-2 = 1$

$C_{23} = -(3\cdot(-1) - (-1)\cdot1) = -(-3+1) = -(-2) = 2$

$C_{31} = ((-1)\cdot(-2) - 2\cdot1) = 2-2 = 0$

$C_{32} = -(3\cdot(-2) - 4\cdot2) = -(-6-8) = -(-14) = 14$

$C_{33} = (3\cdot1 - 4\cdot(-1)) = 3+4 = 7$

余因子行列 $C$ は $C = \begin{bmatrix} -1 & -6 & -5 \\ -1 & 1 & 2 \\ 0 & 14 & 7 \end{bmatrix}$ となる。

$D^{-1} = \frac{1}{|D|} C^T$ であり、$C^T$ は $C$ の転置行列である。

$C^T = \begin{bmatrix} -1 & -1 & 0 \\ -6 & 1 & 14 \\ -5 & 2 & 7 \end{bmatrix}$

したがって、$D^{-1} = \frac{1}{-7} \begin{bmatrix} -1 & -1 & 0 \\ -6 & 1 & 14 \\ -5 & 2 & 7 \end{bmatrix} = \frac{1}{7} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 6 & -1 & -14 \\ 5 & -2 & -7 \end{bmatrix}$

$D^{-1} = \frac{a}{b} \begin{bmatrix} ア & イ & ウ \\ エ & オ & カ \\ キ & ク & ケ \end{bmatrix} = \frac{1}{7} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 6 & -1 & -14 \\ 5 & -2 & -7 \end{bmatrix}$ と比較すると、$a = 1, b = 7$ である。

3. 最終的な答え

$a = 1$, $b = -7$

ア = 1, イ = 1, ウ = 0

エ = 6, オ = -1, カ = -14

キ = 5, ク = -2, ケ = -7