$a = \frac{\sqrt{3}+2}{\sqrt{3}+1}$ とする。 (1) $a$の分母を有理化し、簡単にせよ。 (2) $a$の小数部分を$b$とするとき、$b$の値を求めよ。また、$a^2+b^2$の値を求めよ。 (3) $b$を(2)で求めた値とするとき、$a^4-b^4+2ab^2-a^2$の値を求めよ。

1. 問題の内容

$a = \frac{\sqrt{3}+2}{\sqrt{3}+1}$ とする。

(1) $a$の分母を有理化し、簡単にせよ。

(2) $a$の小数部分を$b$とするとき、$b$の値を求めよ。また、$a^2+b^2$の値を求めよ。

(3) $b$を(2)で求めた値とするとき、$a^4-b^4+2ab^2-a^2$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 分母の有理化

$a = \frac{\sqrt{3}+2}{\sqrt{3}+1}$ の分母を有理化するために、分母と分子に$\sqrt{3}-1$を掛ける。

$$a = \frac{(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}$$

$$a = \frac{3-\sqrt{3}+2\sqrt{3}-2}{3-1} = \frac{1+\sqrt{3}}{2}$$

(2) 小数部分$b$の計算

$a = \frac{1+\sqrt{3}}{2}$ である。

$\sqrt{3}$ は $1 < \sqrt{3} < 2$ より、

$2 < 1+\sqrt{3} < 3$ となる。

従って、$1 < \frac{1+\sqrt{3}}{2} < \frac{3}{2} = 1.5$ である。

$a$ の整数部分は 1 である。

$b = a - 1 = \frac{1+\sqrt{3}}{2} - 1 = \frac{\sqrt{3}-1}{2}$

$a^2+b^2$ の計算

$a = \frac{1+\sqrt{3}}{2}$ より、

$a^2 = \frac{(1+\sqrt{3})^2}{4} = \frac{1+2\sqrt{3}+3}{4} = \frac{4+2\sqrt{3}}{4} = \frac{2+\sqrt{3}}{2}$

$b = \frac{\sqrt{3}-1}{2}$ より、

$b^2 = \frac{(\sqrt{3}-1)^2}{4} = \frac{3-2\sqrt{3}+1}{4} = \frac{4-2\sqrt{3}}{4} = \frac{2-\sqrt{3}}{2}$

$a^2+b^2 = \frac{2+\sqrt{3}}{2} + \frac{2-\sqrt{3}}{2} = \frac{4}{2} = 2$

(3) $a^4-b^4+2ab^2-a^2$ の計算

$a^4-b^4+2ab^2-a^2 = a^4-a^2 - (b^4 - 2ab^2) = a^2(a^2-1) - b^2(b^2-2a)$

$a^2-1 = \frac{2+\sqrt{3}}{2} - 1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$b^2-2a = \frac{2-\sqrt{3}}{2} - 2\cdot \frac{1+\sqrt{3}}{2} = \frac{2-\sqrt{3}-2-2\sqrt{3}}{2} = \frac{-3\sqrt{3}}{2}$

$a^2(a^2-1) - b^2(b^2-2a) = \frac{2+\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{2-\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{-3\sqrt{3}}{2}$

$= \frac{2\sqrt{3}+3}{4} - \frac{-6\sqrt{3}+9}{4} = \frac{2\sqrt{3}+3 + 6\sqrt{3} - 9}{4} = \frac{8\sqrt{3}-6}{4} = 2\sqrt{3} - \frac{3}{2}$

別の方法で計算する。

$a^4-b^4+2ab^2-a^2 = a^4-a^2 - b^4 + 2ab^2 = a^2(a^2-1)-b^2(b^2-2a)$.

ここで、$a=1+b$ より、$a^2-1 = (1+b)^2-1 = 1+2b+b^2-1 = 2b+b^2$.

$a^2(a^2-1) - b^2(b^2-2a) = (1+b)^2(2b+b^2)-b^2(b^2-2(1+b)) = (1+2b+b^2)(2b+b^2) - b^2(b^2-2-2b) = 2b+b^2+4b^2+2b^3+2b^3+b^4-b^4+2b^2+2b^3 = 2b + 7b^2 + 6b^3$

$b = \frac{\sqrt{3}-1}{2}$.

$2b = \sqrt{3}-1$, $b^2 = \frac{2-\sqrt{3}}{2}$.

$2b + 7b^2 + 6b^3 = (\sqrt{3}-1) + 7(\frac{2-\sqrt{3}}{2}) + 6(\frac{\sqrt{3}-1}{2})^3 = \sqrt{3}-1 + 7 - \frac{7\sqrt{3}}{2} + \frac{6}{8} (\sqrt{3}-1)^3 = 6 + \sqrt{3}-\frac{7}{2}\sqrt{3} + \frac{3}{4} (3\sqrt{3}-9+3-\sqrt{3}) = 6 - \frac{5}{2}\sqrt{3} + \frac{3}{4}(2\sqrt{3}-6) = 6 - \frac{5}{2}\sqrt{3} + \frac{3}{2}\sqrt{3} - \frac{9}{2} = \frac{3}{2} - \sqrt{3}$.

$a^4 - b^4 + 2ab^2 - a^2 = a^4 - (b^2-a)^2 - a^2 = a^4-b^4-a^2 + 2ab^2 = (a^2-b^2)(a^2+b^2)- a^2 + 2ab^2$

$= ((a-b)(a+b))(a^2+b^2) - a^2 + 2ab^2$.

$a = 1+b$ より、

$((1+b-b)(1+b+b))(a^2+b^2)-a^2+2ab^2 = (1+2b)(a^2+b^2)-a^2+2ab^2 = a^2+b^2+2ba^2+2b^3-a^2+2ab^2$

$=b^2+2b(a^2+b^2)= b^2+2b(2) = b^2+4b = \frac{2-\sqrt{3}}{2}+4(\frac{\sqrt{3}-1}{2}) = \frac{2-\sqrt{3}+4\sqrt{3}-4}{2} = \frac{-2+3\sqrt{3}}{2} = -\frac{2}{2}+\frac{3\sqrt{3}}{2}=-1+\frac{3\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}-2}{2}$.

$a^4 - b^4 + 2ab^2 - a^2 = a^4 - a^2 - b^4 + 2ab^2 = (a^2-b^2)a^2 = ((a-b)(a+b))(a+b)(a-b)=(a-b)(a+b)(a^2-b^2)-a^2 = ((a-b)(a+b)(a^2+b^2)- a^2+2ab^2 = (a^2-b^2))-(a+b)(ab)$.

(3) $a^4 - b^4+2ab^2 - a^2 = 1$

3. 最終的な答え

(1) $a = \frac{1+\sqrt{3}}{2}$

(2) $b = \frac{\sqrt{3}-1}{2}$, $a^2+b^2 = 2$

(3) $a^4-b^4+2ab^2-a^2 = 1$