与えられた数式が正しいか確認し、簡略化できる場合は簡略化する。与えられた数式は以下の通りです。 $\frac{1}{2} \cdot 2^{n-1} (2^{n-1} + 2^{n} - 1) = 2^{n-2} (3 \cdot 2^{n-1} - 1)$

1. 問題の内容

与えられた数式が正しいか確認し、簡略化できる場合は簡略化する。与えられた数式は以下の通りです。

$\frac{1}{2} \cdot 2^{n-1} (2^{n-1} + 2^{n} - 1) = 2^{n-2} (3 \cdot 2^{n-1} - 1)$

2. 解き方の手順

左辺を簡略化します。

まず、$2^{n-1} + 2^{n} - 1$ を簡略化します。

$2^{n-1} + 2^{n} - 1 = 2^{n-1} + 2 \cdot 2^{n-1} - 1 = 3 \cdot 2^{n-1} - 1$

したがって、左辺は次のようになります。

$\frac{1}{2} \cdot 2^{n-1} (3 \cdot 2^{n-1} - 1)$

$\frac{1}{2} \cdot 2^{n-1} = 2^{-1} \cdot 2^{n-1} = 2^{n-1-1} = 2^{n-2}$

したがって、左辺は次のようになります。

$2^{n-2} (3 \cdot 2^{n-1} - 1)$

これは右辺と同じです。

$2^{n-2} (3 \cdot 2^{n-1} - 1)$

3. 最終的な答え

与えられた数式は正しいです。