与えられた式 $V(1+2x)^{1/3} [x^2] (3)$ を簡略化せよ。ここで、$V$ は単なる記号、$[x^2]$はおそらく$x^2$の係数を指すと思われる。

1. 問題の内容

与えられた式 $V(1+2x)^{1/3} [x^2] (3)$ を簡略化せよ。ここで、$V$ は単なる記号、$[x^2]$はおそらく$x^2$の係数を指すと思われる。

2. 解き方の手順

まず、$V(1+2x)^{1/3}$ のテイラー展開を考える。$(1+u)^n$ のマクローリン展開は次の通りである。

$(1+u)^n = 1 + nu + \frac{n(n-1)}{2!}u^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}u^3 + ...$

ここで、$u = 2x$, $n = 1/3$ とすると、

$(1+2x)^{1/3} = 1 + \frac{1}{3}(2x) + \frac{\frac{1}{3}(\frac{1}{3}-1)}{2!}(2x)^2 + ...$

$= 1 + \frac{2}{3}x + \frac{\frac{1}{3}(-\frac{2}{3})}{2}(4x^2) + ...$

$= 1 + \frac{2}{3}x - \frac{4}{9}x^2 + ...$

したがって、$V(1+2x)^{1/3} = V(1 + \frac{2}{3}x - \frac{4}{9}x^2 + ...)$

$[x^2]$ は、$x^2$ の係数を抽出する操作を表すと考える。すると、$V(1+2x)^{1/3} [x^2]$ は $V(-\frac{4}{9})$ となる。

最後に、$V(-\frac{4}{9}) (3)$ を計算する。

$V(-\frac{4}{9}) (3) = -\frac{4}{3}V$

3. 最終的な答え

$-\frac{4}{3}V$