複素数 $z$ についての方程式 $z^2 = 1 + \sqrt{3}i$ を解く問題です。

1. 問題の内容

複素数 $z$ についての方程式 $z^2 = 1 + \sqrt{3}i$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、$1 + \sqrt{3}i$ を極形式で表します。

$r = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2$

$\theta$ を偏角とすると、$\cos\theta = \frac{1}{2}, \sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ より、$\theta = \frac{\pi}{3}$

したがって、$1 + \sqrt{3}i = 2(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3})$ となります。

$z = x + yi$ とおくと、$z^2 = (x+yi)^2 = x^2 - y^2 + 2xyi$

$z^2 = 1 + \sqrt{3}i$ より、

$x^2 - y^2 = 1$

$2xy = \sqrt{3}$

$z^2 = 2(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3})$ なので、$z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ とすると、

$z^2 = r^2(\cos2\theta + i\sin2\theta)$

$r^2 = 2$ より $r = \sqrt{2}$

$2\theta = \frac{\pi}{3} + 2n\pi$, $n$ は整数

$\theta = \frac{\pi}{6} + n\pi$

$n = 0$ のとき、$\theta = \frac{\pi}{6}$

$n = 1$ のとき、$\theta = \frac{\pi}{6} + \pi = \frac{7\pi}{6}$

$z = \sqrt{2}(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6}) = \sqrt{2}(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i) = \frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i$

$z = \sqrt{2}(\cos\frac{7\pi}{6} + i\sin\frac{7\pi}{6}) = \sqrt{2}(-\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i) = -\frac{\sqrt{6}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i$

別の解法として、$x^2 - y^2 = 1$ と $2xy = \sqrt{3}$ から解く。

$y = \frac{\sqrt{3}}{2x}$ を $x^2 - y^2 = 1$ に代入する。

$x^2 - (\frac{\sqrt{3}}{2x})^2 = 1$

$x^2 - \frac{3}{4x^2} = 1$

$4x^4 - 3 = 4x^2$

$4x^4 - 4x^2 - 3 = 0$

$(2x^2 - 3)(2x^2 + 1) = 0$

$x^2 = \frac{3}{2}, -\frac{1}{2}$

$x^2 = \frac{3}{2}$ より $x = \pm\sqrt{\frac{3}{2}} = \pm\frac{\sqrt{6}}{2}$

$x = \frac{\sqrt{6}}{2}$ のとき $y = \frac{\sqrt{3}}{2\frac{\sqrt{6}}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$x = -\frac{\sqrt{6}}{2}$ のとき $y = \frac{\sqrt{3}}{2(-\frac{\sqrt{6}}{2})} = -\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

よって、$z = \frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i, -\frac{\sqrt{6}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i$

3. 最終的な答え

$z = \frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i, z = -\frac{\sqrt{6}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i$