与えられた連立一次方程式について、係数行列を$A$、定数ベクトルを$b$とする。$A$の第$i$列を$b$で置き換えた行列を$A_i$とするとき、$|A_1|$、$|A_2|$、$|A_3|$、および解$x_1$、$x_2$、$x_3$を求める。 連立一次方程式は以下の通り。 $ \begin{cases} -2x_1 - 8x_2 + x_3 = -2 \\ -x_1 + 4x_2 - 3x_3 = 1 \\ 6x_1 + x_2 + 7x_3 = 0 \end{cases} $

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式について、係数行列を$A$、定数ベクトルを$b$とする。$A$の第$i$列を$b$で置き換えた行列を$A_i$とするとき、$|A_1|$、$|A_2|$、$|A_3|$、および解$x_1$、$x_2$、$x_3$を求める。

連立一次方程式は以下の通り。

$$

\begin{cases}

-2x_1 - 8x_2 + x_3 = -2 \\

-x_1 + 4x_2 - 3x_3 = 1 \\

6x_1 + x_2 + 7x_3 = 0

\end{cases}

$$

2. 解き方の手順

まず、係数行列$A$を定義する。

$$

A = \begin{pmatrix}

-2 & -8 & 1 \\

-1 & 4 & -3 \\

6 & 1 & 7

\end{pmatrix}

$$

次に、定数ベクトル$b$を定義する。

$$

b = \begin{pmatrix}

-2 \\

1 \\

0

\end{pmatrix}

$$

次に、$A_1$, $A_2$, $A_3$を計算する。

$$

A_1 = \begin{pmatrix}

-2 & -8 & 1 \\

1 & 4 & -3 \\

0 & 1 & 7

\end{pmatrix}

$$

$$

A_2 = \begin{pmatrix}

-2 & -2 & 1 \\

-1 & 1 & -3 \\

6 & 0 & 7

\end{pmatrix}

$$

$$

A_3 = \begin{pmatrix}

-2 & -8 & -2 \\

-1 & 4 & 1 \\

6 & 1 & 0

\end{pmatrix}

$$

次に、$|A_1|$, $|A_2|$, $|A_3|$を計算する。

$|A_1| = -2(4*7 - (-3)*1) - (-8)(1*7 - (-3)*0) + 1(1*1 - 4*0) = -2(28+3) + 8(7) + 1 = -2(31) + 56 + 1 = -62 + 56 + 1 = -5$

$|A_2| = -2(1*7 - (-3)*0) - (-2)(-1*7 - (-3)*6) + 1(-1*0 - 1*6) = -2(7) + 2(-7 + 18) + (-6) = -14 + 2(11) - 6 = -14 + 22 - 6 = 2$

$|A_3| = -2(4*0 - 1*1) - (-8)(-1*0 - 1*6) + (-2)(-1*1 - 4*6) = -2(-1) + 8(-6) - 2(-1-24) = 2 - 48 - 2(-25) = 2 - 48 + 50 = 4$

次に、$|A|$を計算する。

$|A| = -2(4*7 - (-3)*1) - (-8)(-1*7 - (-3)*6) + 1(-1*1 - 4*6) = -2(28+3) + 8(-7 + 18) + (-1-24) = -2(31) + 8(11) -25 = -62 + 88 - 25 = 1$

クラメルの公式を使って$x_1$, $x_2$, $x_3$を計算する。

$x_1 = \frac{|A_1|}{|A|} = \frac{-5}{1} = -5$

$x_2 = \frac{|A_2|}{|A|} = \frac{2}{1} = 2$

$x_3 = \frac{|A_3|}{|A|} = \frac{4}{1} = 4$

3. 最終的な答え

$|A_1| = -5$

$|A_2| = 2$

$|A_3| = 4$

$x_1 = -5$

$x_2 = 2$

$x_3 = 4$