1 の 3 乗根を求める問題です。つまり、$x^3 = 1$ を満たす複素数 $x$ をすべて求める問題です。

1. 問題の内容

1 の 3 乗根を求める問題です。つまり、$x^3 = 1$ を満たす複素数 $x$ をすべて求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x^3 = 1$ を変形して、$x^3 - 1 = 0$ とします。

次に、左辺を因数分解します。因数分解の公式 $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ を用いると、

$$x^3 - 1 = (x-1)(x^2 + x + 1) = 0$$

したがって、$x-1 = 0$ または $x^2 + x + 1 = 0$ となります。

$x-1 = 0$ より、$x = 1$ が得られます。

次に、$x^2 + x + 1 = 0$ を解きます。これは2次方程式なので、解の公式を用います。

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

ここで、$a = 1$, $b = 1$, $c = 1$ なので、

$$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(1)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}$$

したがって、$x = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}$ と $x = \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}$ が得られます。

これらをまとめて、1 の 3 乗根は $1, \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}, \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}$ となります。

3. 最終的な答え

$1, \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}, \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}$