与えられた連立一次方程式 $\begin{cases} -3x_1 + 2x_2 = 1 \\ 4x_1 - 3x_2 = 1 \end{cases}$ において、係数行列を $A$、変数ベクトルを $x$、定数ベクトルを $b$ とします。 以下の4つの連立一次方程式の解を求めます。 * $Ax = b$ * $A^T x = b$ * $A^T A x = b$ * $A A^T x = b$

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式 $\begin{cases} -3x_1 + 2x_2 = 1 \\ 4x_1 - 3x_2 = 1 \end{cases}$ において、係数行列を $A$、変数ベクトルを $x$、定数ベクトルを $b$ とします。

以下の4つの連立一次方程式の解を求めます。

* $Ax = b$

* $A^T x = b$

* $A^T A x = b$

* $A A^T x = b$

2. 解き方の手順

まず、係数行列 $A$ と定数ベクトル $b$ を定義します。

$A = \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ 4 & -3 \end{pmatrix}$

$b = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

(1) $Ax = b$ の解

この連立一次方程式を解きます。

$\begin{cases} -3x_1 + 2x_2 = 1 \\ 4x_1 - 3x_2 = 1 \end{cases}$

第1式を4倍、第2式を3倍して加えます。

$-12x_1 + 8x_2 = 4$

$12x_1 - 9x_2 = 3$

$-x_2 = 7$

$x_2 = -7$

第1式に代入します。

$-3x_1 + 2(-7) = 1$

$-3x_1 - 14 = 1$

$-3x_1 = 15$

$x_1 = -5$

よって、$x_1 = -5, x_2 = -7$

(2) $A^T x = b$ の解

$A^T = \begin{pmatrix} -3 & 4 \\ 2 & -3 \end{pmatrix}$

$A^T x = b$ は、 $\begin{cases} -3x_1 + 4x_2 = 1 \\ 2x_1 - 3x_2 = 1 \end{cases}$

第1式を2倍、第2式を3倍して加えます。

$-6x_1 + 8x_2 = 2$

$6x_1 - 9x_2 = 3$

$-x_2 = 5$

$x_2 = -5$

第2式に代入します。

$2x_1 - 3(-5) = 1$

$2x_1 + 15 = 1$

$2x_1 = -14$

$x_1 = -7$

よって、$x_1 = -7, x_2 = -5$

(3) $A^T A x = b$ の解

$A^T A = \begin{pmatrix} -3 & 4 \\ 2 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ 4 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9+16 & -6-12 \\ -6-12 & 4+9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 25 & -18 \\ -18 & 13 \end{pmatrix}$

$A^T A x = b$ は、 $\begin{cases} 25x_1 - 18x_2 = 1 \\ -18x_1 + 13x_2 = 1 \end{cases}$

第1式を13倍、第2式を18倍して加えます。

$325x_1 - 234x_2 = 13$

$-324x_1 + 234x_2 = 18$

$x_1 = 31$

第2式に代入します。

$-18(31) + 13x_2 = 1$

$-558 + 13x_2 = 1$

$13x_2 = 559$

$x_2 = 43$

よって、$x_1 = 31, x_2 = 43$

(4) $A A^T x = b$ の解

$A A^T = \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ 4 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -3 & 4 \\ 2 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9+4 & -12-6 \\ -12-6 & 16+9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 13 & -18 \\ -18 & 25 \end{pmatrix}$

$A A^T x = b$ は、 $\begin{cases} 13x_1 - 18x_2 = 1 \\ -18x_1 + 25x_2 = 1 \end{cases}$

第1式を25倍、第2式を18倍して加えます。

$325x_1 - 450x_2 = 25$

$-324x_1 + 450x_2 = 18$

$x_1 = 43$

第1式に代入します。

$13(43) - 18x_2 = 1$

$559 - 18x_2 = 1$

$-18x_2 = -558$

$x_2 = 31$

よって、$x_1 = 43, x_2 = 31$

3. 最終的な答え

* $Ax = b$ の解は、$x_1 = -5$, $x_2 = -7$

* $A^T x = b$ の解は、$x_1 = -7$, $x_2 = -5$

* $A^T A x = b$ の解は、$x_1 = 31$, $x_2 = 43$

* $A A^T x = b$ の解は、$x_1 = 43$, $x_2 = 31$