放物線 $y = -2x^2 + 3x + 1$ を平行移動したものが、2点 $(-2, 0)$ と $(1, 12)$ を通るとき、その放物線の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

放物線 $y = -2x^2 + 3x + 1$ を平行移動したものが、2点 $(-2, 0)$ と $(1, 12)$ を通るとき、その放物線の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

平行移動後の放物線の方程式を $y = -2(x - p)^2 + 3(x - p) + 1 + q$ とおく。

ただし、$y = -2x^2 + 3x + 1$ を $x$ 軸方向に $p$, $y$ 軸方向に $q$ 平行移動したとする。

展開すると、$y = -2(x^2 - 2xp + p^2) + 3x - 3p + 1 + q$

$y = -2x^2 + 4xp - 2p^2 + 3x - 3p + 1 + q$ となる。

よって、平行移動後の放物線の方程式を $y = -2x^2 + bx + c$ とおく。

この放物線が2点 $(-2, 0)$ と $(1, 12)$ を通るので、それぞれの座標を代入する。

点 $(-2, 0)$ を代入すると、

$0 = -2(-2)^2 + b(-2) + c$

$0 = -8 - 2b + c$

$2b - c = -8$ ...(1)

点 $(1, 12)$ を代入すると、

$12 = -2(1)^2 + b(1) + c$

$12 = -2 + b + c$

$b + c = 14$ ...(2)

(1) + (2) より

$3b = 6$

$b = 2$

(2) に $b = 2$ を代入すると、

$2 + c = 14$

$c = 12$

よって、平行移動後の放物線の方程式は、$y = -2x^2 + 2x + 12$ となる。

3. 最終的な答え

$y = -2x^2 + 2x + 12$