2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の判別式を $D = b^2 - 4ac$ とするとき、命題「2次方程式が実数解をもつ $\implies$ $D \geq 0$」の逆、裏、対偶を述べ、それぞれの真偽を調べる。

1. 問題の内容

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の判別式を $D = b^2 - 4ac$ とするとき、命題「2次方程式が実数解をもつ $\implies$ $D \geq 0$」の逆、裏、対偶を述べ、それぞれの真偽を調べる。

2. 解き方の手順

与えられた命題を $P \implies Q$ とおく。ここで、

* $P$: 2次方程式が実数解をもつ

* $Q$: $D \geq 0$

(1) 逆: $Q \implies P$

すなわち、「$D \geq 0 \implies$ 2次方程式が実数解をもつ」

これは真である。なぜなら、$D \geq 0$ であれば、2次方程式の解の公式から、実数解を持つことがわかるからである。

(2) 裏: $\overline{P} \implies \overline{Q}$

すなわち、「2次方程式が実数解をもたない $\implies$ $D < 0$」

これは真である。なぜなら、2次方程式が実数解をもたないとき、それは虚数解を持つことを意味し、判別式が負になるからである。

(3) 対偶: $\overline{Q} \implies \overline{P}$

すなわち、「$D < 0 \implies$ 2次方程式が実数解をもたない」

これは真である。なぜなら、元の命題が真であることから、対偶も真である。または、$D < 0$ であれば、2次方程式の解の公式から、虚数解を持つことがわかるからである。

3. 最終的な答え

* 元の命題: 「2次方程式が実数解をもつ $\implies$ $D \geq 0$」: 真

* 逆: 「$D \geq 0 \implies$ 2次方程式が実数解をもつ」: 真

* 裏: 「2次方程式が実数解をもたない $\implies$ $D < 0$」: 真

* 対偶: 「$D < 0 \implies$ 2次方程式が実数解をもたない」: 真